微积分学示例

$\int x \sin (x^{2}) d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\sin (u)}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

解题步骤 4

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简。

$\frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (u)$ 。

$- \frac{\cos (u)}{2} + C$

解题步骤 6

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{\cos (x^{2})}{2} + C$

解题步骤 7

重新排序项。

$- \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$

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