微积分学示例

$f (x) = 5 x^{2} - 2 x$ , $g (x) = 8 x + 3$ , $f (g (k))$

解题步骤 1

建立复合结果函数。

$f (g (x))$

解题步骤 2

通过将 $g$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (8 x + 3)$ 。

$f (8 x + 3) = 5 {(8 x + 3)}^{2} - 2 (8 x + 3)$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

将 ${(8 x + 3)}^{2}$ 重写为 $(8 x + 3) (8 x + 3)$ 。

$f (8 x + 3) = 5 ((8 x + 3) (8 x + 3)) - 2 (8 x + 3)$

解题步骤 3.2

使用 FOIL 方法展开 $(8 x + 3) (8 x + 3)$ 。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$f (8 x + 3) = 5 (8 x (8 x + 3) + 3 (8 x + 3)) - 2 (8 x + 3)$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

$f (8 x + 3) = 5 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x + 3)) - 2 (8 x + 3)$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$f (8 x + 3) = 5 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) - 2 (8 x + 3)$

解题步骤 3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f (8 x + 3) = 5 (8 \cdot (8 x \cdot x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) - 2 (8 x + 3)$

解题步骤 3.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$f (8 x + 3) = 5 (8 \cdot (8 (x \cdot x)) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) - 2 (8 x + 3)$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (8 x + 3) = 5 (8 \cdot (8 x^{2}) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) - 2 (8 x + 3)$

解题步骤 3.3.1.3

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$f (8 x + 3) = 5 (64 x^{2} + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) - 2 (8 x + 3)$

解题步骤 3.3.1.4

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$f (8 x + 3) = 5 (64 x^{2} + 24 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) - 2 (8 x + 3)$

解题步骤 3.3.1.5

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$f (8 x + 3) = 5 (64 x^{2} + 24 x + 24 x + 3 \cdot 3) - 2 (8 x + 3)$

解题步骤 3.3.1.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (8 x + 3) = 5 (64 x^{2} + 24 x + 24 x + 9) - 2 (8 x + 3)$

解题步骤 3.3.2

将 $24 x$ 和 $24 x$ 相加。

$f (8 x + 3) = 5 (64 x^{2} + 48 x + 9) - 2 (8 x + 3)$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$f (8 x + 3) = 5 (64 x^{2}) + 5 (48 x) + 5 \cdot 9 - 2 (8 x + 3)$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $64$ 乘以 $5$ 。

$f (8 x + 3) = 320 x^{2} + 5 (48 x) + 5 \cdot 9 - 2 (8 x + 3)$

解题步骤 3.5.2

将 $48$ 乘以 $5$ 。

$f (8 x + 3) = 320 x^{2} + 240 x + 5 \cdot 9 - 2 (8 x + 3)$

解题步骤 3.5.3

将 $5$ 乘以 $9$ 。

$f (8 x + 3) = 320 x^{2} + 240 x + 45 - 2 (8 x + 3)$

解题步骤 3.6

运用分配律。

$f (8 x + 3) = 320 x^{2} + 240 x + 45 - 2 (8 x) - 2 \cdot 3$

解题步骤 3.7

将 $8$ 乘以 $- 2$ 。

$f (8 x + 3) = 320 x^{2} + 240 x + 45 - 16 x - 2 \cdot 3$

解题步骤 3.8

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$f (8 x + 3) = 320 x^{2} + 240 x + 45 - 16 x - 6$

解题步骤 4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.1

从 $240 x$ 中减去 $16 x$ 。

$f (8 x + 3) = 320 x^{2} + 224 x + 45 - 6$

解题步骤 4.2

从 $45$ 中减去 $6$ 。

$f (8 x + 3) = 320 x^{2} + 224 x + 39$

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