微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

解题步骤 1.1.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

解题步骤 1.1.2.4

组合 $\frac{4}{2}$ 和 $x^{3}$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

解题步骤 1.1.2.5

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.5.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

解题步骤 1.1.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

解题步骤 1.1.2.5.2.2

约去公因数。

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

解题步骤 1.1.2.5.2.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

解题步骤 1.1.2.5.2.4

用 $2 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3})$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $2 x^{3} + 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

解题步骤 1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 (2 x)$

解题步骤 1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $6 x^{2} + 12 x$ 。

$6 x^{2} + 12 x$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x^{2} + 12 x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x^{2} + 12 x = 0$

解题步骤 2.2

从 $6 x^{2} + 12 x$ 中分解出因数 $6 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$6 x (x) + 12 x = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $12 x$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$6 x (x) + 6 x (2) = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $6 x (x) + 6 x (2)$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$6 x (x + 2) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.6

最终解为使 $6 x (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 2$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 3.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 3.3

将 $- 2$ 代入 $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + 2 {(- 2)}^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot 16 + 2 {(- 2)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (8)) + 2 {(- 2)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

约去公因数。

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8) + 2 {(- 2)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.3

重写表达式。

$f (- 2) = 8 + 2 {(- 2)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.3

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2) = 8 + 2 \cdot - 8$

解题步骤 3.3.2.1.4

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$f (- 2) = 8 - 16$

解题步骤 3.3.2.2

从 $8$ 中减去 $16$ 。

$f (- 2) = - 8$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $- 8$ 。

$- 8$

解题步骤 3.4

通过将 $- 2$ 代入 $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ 中求得的点为 $(- 2, - 8)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 2, - 8)$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (- 2, - 8)$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 2)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 2.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 2.1) = 6 {(- 2.1)}^{2} + 12 (- 2.1)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 2.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2.1) = 6 \cdot 4.41 + 12 (- 2.1)$

解题步骤 5.2.1.2

将 $6$ 乘以 $4.41$ 。

$f'' (- 2.1) = 26.46 + 12 (- 2.1)$

解题步骤 5.2.1.3

将 $12$ 乘以 $- 2.1$ 。

$f'' (- 2.1) = 26.46 - 25.2$

解题步骤 5.2.2

从 $26.46$ 中减去 $25.2$ 。

$f'' (- 2.1) = 1.26$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $1.26$ 。

$1.26$

解题步骤 5.3

在 $- 2.1$ 处，二阶导数为 $1.26$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - 2)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 2)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 2, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1) = 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1) = 6 \cdot 1 + 12 (- 1)$

解题步骤 6.2.1.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f'' (- 1) = 6 + 12 (- 1)$

解题步骤 6.2.1.3

将 $12$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (- 1) = 6 - 12$

解题步骤 6.2.2

从 $6$ 中减去 $12$ 。

$f'' (- 1) = - 6$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 6$ 。

$- 6$

解题步骤 6.3

在 $- 1$ ，二阶导数为 $- 6$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 2, 0)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 2, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

解题步骤 7.2.1.2

将 $6$ 乘以 $0.01$ 。

$f'' (0.1) = 0.06 + 12 (0.1)$

解题步骤 7.2.1.3

将 $12$ 乘以 $0.1$ 。

$f'' (0.1) = 0.06 + 1.2$

解题步骤 7.2.2

将 $0.06$ 和 $1.2$ 相加。

$f'' (0.1) = 1.26$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $1.26$ 。

$1.26$

解题步骤 7.3

在 $0.1$ 处，二阶导数为 $1.26$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 8), (0, 0)$ .

$(- 2, - 8), (0, 0)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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