微积分学示例

$lim_{x \to 0} \cos (\frac{1}{x})$

解题步骤 1

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \cos (\frac{1}{x})$

解题步骤 2

制作一个表格展示函数 $\cos (\frac{1}{x})$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{1}{x}) \\ - 0.1 & - 0.83907152 \\ - 0.01 & 0.86231887 \\ - 0.001 & - 0.11038724 \\ - 0.0001 & - 0.11038724 \end{array}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $- 0.11$ 。因此， $\cos (\frac{1}{x})$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $- 0.11$ 。

$- 0.11$

解题步骤 4

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \cos (\frac{1}{x})$

解题步骤 5

制作一个表格展示函数 $\cos (\frac{1}{x})$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{1}{x}) \\ 0.1 & - 0.83907152 \\ 0.01 & 0.86231887 \\ 0.001 & - 0.92173957 \\ 0.0001 & - 0.92173957 \end{array}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $- 0.922$ 。因此， $\cos (\frac{1}{x})$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $- 0.922$ 。

$- 0.922$

解题步骤 7

因为左极限和右极限不相等，所以极限不存在。

$不存在$

微积分学 示例

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