微积分学示例

$\frac{d}{d t} (a t^{2} + b t + c)$

解题步骤 1

根据加法法则， $a t^{2} + b t + c$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [a t^{2}] + \frac{d}{d t} [b t] + \frac{d}{d t} [c]$ 。

$\frac{d}{d t} [a t^{2}] + \frac{d}{d t} [b t] + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [a t^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $a$ 对于 $t$ 是常数，所以 $a t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $a \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$a \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [b t] + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$a (2 t) + \frac{d}{d t} [b t] + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.3

将 $2$ 移到 $a$ 的左侧。

$2 a t + \frac{d}{d t} [b t] + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d t} [b t]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $b$ 对于 $t$ 是常数，所以 $b t$ 对 $t$ 的导数是 $b \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 a t + b \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 a t + b \cdot 1 + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 3.3

将 $b$ 乘以 $1$ 。

$2 a t + b + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 4

因为 $c$ 对于 $t$ 是常数，所以 $c$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$2 a t + b + 0$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $2 a t + b$ 和 $0$ 相加。

$2 a t + b$

解题步骤 5.2

重新排序项。

$b + 2 a t$

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