微积分学示例

$\int_{0}^{45} \frac{1}{\sqrt{t + 4}} d t$

解题步骤 1

使 $u = t + 4$ 。然后使 $d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = t + 4$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $t + 4$ 求导。

$\frac{d}{d t} [t + 4]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $t + 4$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$ 。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 1.1.4

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = t + 4$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 0 + 4$

解题步骤 1.3

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$u_{lower} = 4$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = t + 4$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 45 + 4$

解题步骤 1.5

将 $45$ 和 $4$ 相加。

$u_{upper} = 49$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 49$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{4}^{49} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{4}^{49} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{4}^{49} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{4}^{49} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int_{4}^{49} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int_{4}^{49} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{49}$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 在 $49$ 处和在 $4$ 处的值。

$(2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1

约去公因数。

$2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.3.2

重写表达式。

$2 \cdot 7^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.4

计算指数。

$2 \cdot 7 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.5

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$14 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.6

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$14 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2.7

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$14 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 4.2.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.8.1

约去公因数。

$14 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 4.2.8.2

重写表达式。

$14 - 2 \cdot 2^{1}$

解题步骤 4.2.9

计算指数。

$14 - 2 \cdot 2$

解题步骤 4.2.10

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$14 - 4$

解题步骤 4.2.11

从 $14$ 中减去 $4$ 。

$10$

解题步骤 5

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