微积分学示例

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{16 + r^{2}}} d r$

解题步骤 1

使 $r = 4 \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d r = 4 \sec^{2} (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $4 \sec^{2} (t)$ 为正数。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + {(4 \tan (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{16 + {(4 \tan (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $4 \tan (t)$ 运用乘积法则。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + 4^{2} \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + 16 \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.2

从 $16$ 中分解出因数 $16$ 。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.3

从 $16 \tan^{2} (t)$ 中分解出因数 $16$ 。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 (\tan^{2} (t))}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.4

从 $16 (1) + 16 (\tan^{2} (t))$ 中分解出因数 $16$ 。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1 + \tan^{2} (t))}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.5

重新整理项。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.6

使用勾股恒等式。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.7

将 $16 \sec^{2} (t)$ 重写为 ${(4 \sec (t))}^{2}$ 。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

约去 $4 \sec (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $4 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $4 \sec (t)$ 。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

解题步骤 2.2.1.2

约去公因数。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 2.2.1.3

重写表达式。

$\int_{0}^{0.24497866} {(4 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $4 \tan (t)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int_{0}^{0.24497866} {(4 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

解题步骤 2.2.2.2

对 $4 (\tan (t))$ 运用乘积法则。

$\int_{0}^{0.24497866} 4^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 2.2.2.3

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int_{0}^{0.24497866} 64 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 3

由于 $64$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $64$ 移到积分外。

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 4

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 5

因式分解出 $\tan^{2} (t)$ 。

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 6

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$64 \int_{0}^{0.24497866} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 7

化简。

$64 \int_{0}^{0.24497866} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

解题步骤 8

使 $u = \sec (t)$ 。然后使 $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ ，以便 $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = \sec (t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $\sec (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

解题步骤 8.1.2

$\sec (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\sec (t) \tan (t)$ 。

$\sec (t) \tan (t)$

解题步骤 8.2

将下限代入替换 $u = \sec (t)$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = \sec (0)$

解题步骤 8.3

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 8.4

将上限代入替换 $u = \sec (t)$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = \sec (0.24497866)$

解题步骤 8.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sec (0.24497866)$

解题步骤 8.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$64 \int_{1}^{\sec (0.24497866)} - 1 + u^{2} d u$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$64 (\int_{1}^{\sec (0.24497866)} - 1 d u + \int_{1}^{\sec (0.24497866)} u^{2} d u)$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$64 (- u]_{1}^{\sec (0.24497866)} + \int_{1}^{\sec (0.24497866)} u^{2} d u)$

解题步骤 11

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$64 (- u]_{1}^{\sec (0.24497866)} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

组合 $- u]_{1}^{\sec (0.24497866)}$ 和 $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)}$ 。

$64 (- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

解题步骤 12.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$64 (- u + \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

解题步骤 13

代入并化简。

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解题步骤 13.1

计算 $- u + \frac{u^{3}}{3}$ 在 $\sec (0.24497866)$ 处和在 $1$ 处的值。

$64 ((- \sec (0.24497866) + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

解题步骤 13.2

化简。

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解题步骤 13.2.1

要将 $- \sec (0.24497866)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$64 (- \sec (0.24497866) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

解题步骤 13.2.2

组合 $- \sec (0.24497866)$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$64 (\frac{- \sec (0.24497866) \cdot 3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

解题步骤 13.2.3

在公分母上合并分子。

$64 (\frac{- \sec (0.24497866) \cdot 3 + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

解题步骤 13.2.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

解题步骤 13.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

解题步骤 13.2.6

一的任意次幂都为一。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

解题步骤 13.2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

解题步骤 13.2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

解题步骤 13.2.9

在公分母上合并分子。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

解题步骤 13.2.10

化简分子。

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解题步骤 13.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

解题步骤 13.2.10.2

将 $- 3$ 和 $1$ 相加。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 2}{3})$

解题步骤 13.2.11

将负号移到分数的前面。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - - \frac{2}{3})$

解题步骤 13.2.12

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

解题步骤 13.2.13

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

从 $- 3 \sec (0.24497866)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866)) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

解题步骤 14.2

从 $\sec^{3} (0.24497866)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866)) - 1 (- \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

解题步骤 14.3

从 $- (3 \sec (0.24497866)) - 1 (- \sec^{3} (0.24497866))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

解题步骤 14.4

将 $- (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))$ 重写为 $- 1 (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))$ 。

$64 (\frac{- 1 (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

解题步骤 14.5

将负号移到分数的前面。

$64 (- \frac{3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$64 (- \frac{3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

小数形式：

$0.06124186 \dots$

解题步骤 16

微积分学 示例

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