微积分学示例

$\int_{25}^{3} 6 \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

解题步骤 1

组合 $6$ 和 $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ 。

$\int_{25}^{3} \frac{6 \ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

解题步骤 2

由于 $6$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int_{25}^{3} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

解题步骤 3

将 $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ 重写为乘积形式。

$6 \int_{25}^{3} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (y)$ ， $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ 。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y)$

解题步骤 5.2

组合 $y^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{y}$ 。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y)$

解题步骤 5.3

将 $2$ 移到 $y^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y)$

解题步骤 5.4

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $y^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y)$

解题步骤 5.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.5.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y)$

解题步骤 5.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y)$

解题步骤 5.5.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y)$

解题步骤 5.5.3

在公分母上合并分子。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y)$

解题步骤 5.5.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - (2 \int_{25}^{3} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y))$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

解题步骤 7.2

通过将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y)$

解题步骤 7.3

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y)$

解题步骤 7.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} y^{\frac{- 1}{2}} d y)$

解题步骤 7.3.3

将负号移到分数的前面。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} y^{- \frac{1}{2}} d y)$

解题步骤 8

根据幂法则， $y^{- \frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{25}^{3}))$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ 在 $3$ 处和在 $25$ 处的值。

$6 ((\ln (3) (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{25}^{3}))$

解题步骤 9.2

计算 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 在 $3$ 处和在 $25$ 处的值。

$6 ((\ln (3) (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $2$ 移到 $\ln (3)$ 的左侧。

$6 (2 \cdot \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.4.1

约去公因数。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.4.2

重写表达式。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5^{1}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.5

计算指数。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.6

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) \cdot 10 - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.7

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.8

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.9

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}))$

解题步骤 9.3.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.10.1

约去公因数。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}))$

解题步骤 9.3.10.2

重写表达式。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5^{1}))$

解题步骤 9.3.11

计算指数。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5))$

解题步骤 9.3.12

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

将 $\ln (25)$ 重写为 $\ln (5^{2})$ 。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (5^{2}) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

解题步骤 10.1.2

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (5^{2})$ 。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 (2 \ln (5)) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

解题步骤 10.1.3

将 $2$ 乘以 $- 10$ 。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

解题步骤 10.1.4

运用分配律。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot - 10)$

解题步骤 10.1.5

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 10)$

解题步骤 10.1.6

将 $- 2$ 乘以 $- 10$ 。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 20)$

解题步骤 10.2

运用分配律。

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 (- 20 \ln (5)) + 6 (- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 \cdot 20$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 (- 20 \ln (5)) + 6 (- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 \cdot 20$

解题步骤 10.3.2

将 $- 20$ 乘以 $6$ 。

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 120 \ln (5) + 6 (- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 \cdot 20$

解题步骤 10.3.3

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 6 \cdot 20$

解题步骤 10.3.4

将 $6$ 乘以 $20$ 。

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 120$

$12 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 120$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$12 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 120$

小数形式：

$- 91.86754125 \dots$

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