微积分学示例

$3 x + 2 \sqrt{x} + \frac{32}{x^{2}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $3 x + 2 \sqrt{x} + \frac{32}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$3 + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 3.7

化简分子。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 3.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 3.8

将负号移到分数的前面。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$3 + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 3.10

组合 $2$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$3 + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$3 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 3.12

约去公因数。

$3 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 3.13

重写表达式。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{32}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

解题步骤 4.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

解题步骤 4.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

解题步骤 4.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

解题步骤 4.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

解题步骤 4.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

解题步骤 4.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- 2 x^{- 3})$

解题步骤 4.10

将 $- 2$ 乘以 $32$ 。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 64 x^{- 3}$

解题步骤 5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 64 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

合并项。

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解题步骤 6.1.1

组合 $- 64$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 64}{x^{3}}$

解题步骤 6.1.2

将负号移到分数的前面。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{64}{x^{3}}$

解题步骤 6.2

重新排序项。

$- \frac{64}{x^{3}} + 3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

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