微积分学示例

$\frac{e^{x}}{1 + x}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 1 + x$ 。

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $1 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{1 e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

合并 $e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $e^{x}$ 中减去 $e^{x}$ 。

$\frac{x e^{x} + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $x e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$\frac{e^{x} x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4

将 $\frac{e^{x} x}{{(x + 1)}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{x e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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