微积分学示例

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} - \frac{1}{t^{2} + t}$

解题步骤 1

化简极限自变量。

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解题步骤 1.1

合并项。

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解题步骤 1.1.1

要将 $\frac{1}{t}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{t^{2} + t}{t^{2} + t}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot \frac{t^{2} + t}{t^{2} + t} - \frac{1}{t^{2} + t}$

解题步骤 1.1.2

要将 $- \frac{1}{t^{2} + t}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{t}{t}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot \frac{t^{2} + t}{t^{2} + t} - \frac{1}{t^{2} + t} \cdot \frac{t}{t}$

解题步骤 1.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $t (t^{2} + t)$ 的形式。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $\frac{1}{t}$ 乘以 $\frac{t^{2} + t}{t^{2} + t}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{1}{t^{2} + t} \cdot \frac{t}{t}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $\frac{1}{t^{2} + t}$ 乘以 $\frac{t}{t}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{t}{(t^{2} + t) t}$

解题步骤 1.1.3.3

重新排序 $(t^{2} + t) t$ 的因式。

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{t}{t (t^{2} + t)}$

解题步骤 1.1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t - t}{t (t^{2} + t)}$

解题步骤 1.1.5

从 $t$ 中减去 $t$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + 0}{t (t^{2} + t)}$

解题步骤 1.1.6

将 $t^{2}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2}}{t (t^{2} + t)}$

解题步骤 1.2

约去 $t^{2}$ 和 $t$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{t \cdot t}{t (t^{2} + t)}$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

约去公因数。

$lim_{t \to 0} \frac{t \cdot t}{t (t^{2} + t)}$

解题步骤 1.2.2.2

重写表达式。

$lim_{t \to 0} \frac{t}{t^{2} + t}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{t \to 0} t}{lim_{t \to 0} t^{2} + t}$

解题步骤 2.1.2

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2} + t}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2} + lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 2.1.3.2

使用极限幂法则把 $t^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{t \to 0} t)}^{2} + lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 2.1.3.3

将 $0$ 代入所有出现 $t$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.3.1

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{2} + lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 2.1.3.3.2

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

解题步骤 2.1.3.4

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.4.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 2.1.3.4.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.4.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{t \to 0} \frac{t}{t^{2} + t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

解题步骤 2.3.3

根据加法法则， $t^{2} + t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 t + \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 t + 1}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} 2 t + 1}$

解题步骤 3.2

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{t \to 0} 2 t + 1}$

解题步骤 3.3

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{lim_{t \to 0} 2 t + lim_{t \to 0} 1}$

解题步骤 3.4

因为项 $2$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2 lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 1}$

解题步骤 3.5

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2 lim_{t \to 0} t + 1}$

解题步骤 4

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{1}{2 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

化简分母。

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解题步骤 5.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{0 + 1}$

解题步骤 5.1.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{1}$

解题步骤 5.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$1$

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