微积分学示例

$y = \frac{(x + 5) x}{x + 1}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = (x + 5) x$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 5) x] - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 5$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{(x + 1) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 1) ((x + 5) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $x + 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x (1 + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x (1 + 0)) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x \cdot 1) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.10

化简表达式。

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解题步骤 3.10.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.10.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) + (- x - 1 \cdot 5) x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (2 x + 5)$ 。

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解题步骤 4.3.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x (2 x + 5) + 1 (2 x + 5) - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 + 1 (2 x + 5) - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2.1.3

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 x^{2} + 5 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2.1.4

将 $2 x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 2 x + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2.1.5

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 2 x + 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2.2

将 $5 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 5 - (x \cdot x) - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 5 - x^{2} - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 5 - x^{2} - 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} + 7 x + 5 - 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3

从 $7 x$ 中减去 $5 x$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x + 5}{{(x + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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