微积分学示例

$\int_{4}^{9} \sqrt{x} d x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 在 $9$ 处和在 $4$ 处的值。

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3.2

重写表达式。

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $27$ 。

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.6

将 $2$ 乘以 $27$ 。

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.7

约去 $54$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.7.1

从 $54$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.7.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.7.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$18 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.8

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$18 - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.9

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 3.2.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.10.1

约去公因数。

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 3.2.10.2

重写表达式。

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

解题步骤 3.2.11

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$18 - \frac{2}{3} \cdot 8$

解题步骤 3.2.12

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$18 - 8 (\frac{2}{3})$

解题步骤 3.2.13

组合 $- 8$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$18 + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

解题步骤 3.2.14

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$18 + \frac{- 16}{3}$

解题步骤 3.2.15

将负号移到分数的前面。

$18 - \frac{16}{3}$

解题步骤 3.2.16

要将 $18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

解题步骤 3.2.17

组合 $18$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

解题步骤 3.2.18

在公分母上合并分子。

$\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

解题步骤 3.2.19

化简分子。

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解题步骤 3.2.19.1

将 $18$ 乘以 $3$ 。

$\frac{54 - 16}{3}$

解题步骤 3.2.19.2

从 $54$ 中减去 $16$ 。

$\frac{38}{3}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{38}{3}$

小数形式：

$12.\overline{6}$

带分数形式：

$12 \frac{2}{3}$

解题步骤 5

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