微积分学示例

$\int_{1}^{2} x \ln (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = x$ 。

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{x} d x)$

解题步骤 4.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x} d x)$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

解题步骤 4.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

解题步骤 4.2.2.3

约去公因数。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

解题步骤 4.2.2.4

重写表达式。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x}{1} d x)$

解题步骤 4.2.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x)$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

解题步骤 6.2

计算 $\frac{1}{2} x^{2}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\ln (2) \cdot 4}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 6.3.2

将 $4$ 移到 $\ln (2)$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot \ln (2)}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 6.3.3

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.1

从 $4 \ln (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 6.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2 (1)} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 6.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 6.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \ln (2)}{1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 6.3.3.2.4

用 $2 \ln (2)$ 除以 $1$ 。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 6.3.4

一的任意次幂都为一。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1) \cdot 1}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 6.3.5

将 $\ln (1)$ 乘以 $1$ 。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 6.3.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 6.3.7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 6.3.8

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.8.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 6.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.8.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 6.3.8.2.2

约去公因数。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 6.3.8.2.3

重写表达式。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 6.3.8.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 6.3.9

一的任意次幂都为一。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

解题步骤 6.3.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2})$

解题步骤 6.3.11

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 6.3.12

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 6.3.13

在公分母上合并分子。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

解题步骤 6.3.14

化简分子。

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解题步骤 6.3.14.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4 - 1}{2}$

解题步骤 6.3.14.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

解题步骤 6.3.15

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{3}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.3.16

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{3}{4}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$2 \ln (2) - \frac{0}{2} - \frac{3}{4}$

解题步骤 7.1.2

用 $0$ 除以 $2$ 。

$2 \ln (2) - 0 - \frac{3}{4}$

解题步骤 7.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 \ln (2) + 0 - \frac{3}{4}$

解题步骤 7.2

将 $2 \ln (2)$ 和 $0$ 相加。

$2 \ln (2) - \frac{3}{4}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 \ln (2) - \frac{3}{4}$

小数形式：

$0.63629436 \dots$

微积分学 示例

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