微积分学示例

\frac{x^{2}}{x - 1}

$\frac{x^{2}}{x - 1}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ 且

g (x) = x - 1

$g (x) = x - 1$ 。

\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 2

$n = 2$ 。

\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

将

2

$2$ 移到

x - 1

$x - 1$ 的左侧。

\frac{2 \cdot (x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 \cdot (x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

根据加法法则，

x - 1

$x - 1$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为

- 1

$- 1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

- 1

$- 1$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将

1

$1$ 和

0

$0$ 相加。

\frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

\frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

通过指数相加将

x

$x$ 乘以

x

$x$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

移动

x

$x$ 。

\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.1.2

将

x

$x$ 乘以

x

$x$ 。

\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

将

2

$2$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

从

2 x^{2}

$2 x^{2}$ 中减去

x^{2}

$x^{2}$ 。

\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

从

x^{2} - 2 x

$x^{2} - 2 x$ 中分解出因数

x

$x$ 。

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解题步骤 3.4.1

从

x^{2}

$x^{2}$ 中分解出因数

x

$x$ 。

\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

从

- 2 x

$- 2 x$ 中分解出因数

x

$x$ 。

\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

从

x \cdot x + x \cdot - 2

$x \cdot x + x \cdot - 2$ 中分解出因数

x

$x$ 。

\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

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