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微积分学 示例
x2x-1x2x−1
解题步骤 1
使用除法定则求微分,根据该法则,ddx[f(x)g(x)]ddx[f(x)g(x)] 等于 g(x)ddx[f(x)]-f(x)ddx[g(x)]g(x)2g(x)ddx[f(x)]−f(x)ddx[g(x)]g(x)2,其中 f(x)=x2f(x)=x2 且 g(x)=x-1g(x)=x−1。
(x-1)ddx[x2]-x2ddx[x-1](x-1)2(x−1)ddx[x2]−x2ddx[x−1](x−1)2
解题步骤 2
解题步骤 2.1
使用幂法则求微分,根据该法则,ddx[xn]ddx[xn] 等于 nxn-1nxn−1,其中 n=2n=2。
(x-1)(2x)-x2ddx[x-1](x-1)2(x−1)(2x)−x2ddx[x−1](x−1)2
解题步骤 2.2
将 22 移到 x-1x−1 的左侧。
2⋅(x-1)x-x2ddx[x-1](x-1)22⋅(x−1)x−x2ddx[x−1](x−1)2
解题步骤 2.3
根据加法法则,x-1x−1 对 xx 的导数是 ddx[x]+ddx[-1]ddx[x]+ddx[−1]。
2(x-1)x-x2(ddx[x]+ddx[-1])(x-1)22(x−1)x−x2(ddx[x]+ddx[−1])(x−1)2
解题步骤 2.4
使用幂法则求微分,根据该法则,ddx[xn]ddx[xn] 等于 nxn-1nxn−1,其中 n=1n=1。
2(x-1)x-x2(1+ddx[-1])(x-1)22(x−1)x−x2(1+ddx[−1])(x−1)2
解题步骤 2.5
因为 -1−1 对于 xx 是常数,所以 -1−1 对 xx 的导数为 00。
2(x-1)x-x2(1+0)(x-1)22(x−1)x−x2(1+0)(x−1)2
解题步骤 2.6
化简表达式。
解题步骤 2.6.1
将 11 和 00 相加。
2(x-1)x-x2⋅1(x-1)22(x−1)x−x2⋅1(x−1)2
解题步骤 2.6.2
将 -1−1 乘以 11。
2(x-1)x-x2(x-1)22(x−1)x−x2(x−1)2
2(x-1)x-x2(x-1)22(x−1)x−x2(x−1)2
2(x-1)x-x2(x-1)22(x−1)x−x2(x−1)2
解题步骤 3
解题步骤 3.1
运用分配律。
(2x+2⋅-1)x-x2(x-1)2(2x+2⋅−1)x−x2(x−1)2
解题步骤 3.2
运用分配律。
2x⋅x+2⋅-1x-x2(x-1)22x⋅x+2⋅−1x−x2(x−1)2
解题步骤 3.3
化简分子。
解题步骤 3.3.1
化简每一项。
解题步骤 3.3.1.1
通过指数相加将 xx 乘以 xx。
解题步骤 3.3.1.1.1
移动 xx。
2(x⋅x)+2⋅-1x-x2(x-1)22(x⋅x)+2⋅−1x−x2(x−1)2
解题步骤 3.3.1.1.2
将 x 乘以 x。
2x2+2⋅-1x-x2(x-1)2
2x2+2⋅-1x-x2(x-1)2
解题步骤 3.3.1.2
将 2 乘以 -1。
2x2-2x-x2(x-1)2
2x2-2x-x2(x-1)2
解题步骤 3.3.2
从 2x2 中减去 x2。
x2-2x(x-1)2
x2-2x(x-1)2
解题步骤 3.4
从 x2-2x 中分解出因数 x。
解题步骤 3.4.1
从 x2 中分解出因数 x。
x⋅x-2x(x-1)2
解题步骤 3.4.2
从 -2x 中分解出因数 x。
x⋅x+x⋅-2(x-1)2
解题步骤 3.4.3
从 x⋅x+x⋅-2 中分解出因数 x。
x(x-2)(x-1)2
x(x-2)(x-1)2
x(x-2)(x-1)2