微积分学示例

$4 \sqrt{x} - \frac{5}{x^{2}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $4 \sqrt{x} - \frac{5}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 2.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 2.8

将负号移到分数的前面。

$4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 2.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 2.10

组合 $4$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 2.12

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 2.13

约去公因数。

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解题步骤 2.13.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 2.13.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 2.13.3

重写表达式。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{5}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

解题步骤 3.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- x^{- 4} (2 x))$

解题步骤 3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- 2 x^{- 4} x)$

解题步骤 3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

解题步骤 3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- 2 x^{1 - 4})$

解题步骤 3.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- 2 x^{- 3})$

解题步骤 3.10

将 $- 2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{- 3}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 10 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 4.2

组合 $10$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{10}{x^{3}}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$\frac{10}{x^{3}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

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