微积分学示例

$y = 16 \sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$ 重写成 ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ 。

$y = 16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$ 。

$16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ 且 $g (x) = 4 x^{4} + 4$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x^{4} + 4$ 。

$16 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{4}$ 。

$16 (\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

解题步骤 4.2.3

使用 $4 x^{4} + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

解题步骤 4.6.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

解题步骤 4.7

将负号移到分数的前面。

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

解题步骤 4.8

组合 $\frac{1}{4}$ 和 ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ 。

$16 (\frac{{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

解题步骤 4.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ 移动到分母。

$16 (\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

解题步骤 4.10

组合 $\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ 和 $16$ 。

$\frac{16}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

解题步骤 4.11

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

解题步骤 4.12

约去公因数。

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解题步骤 4.12.1

从 $4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 4}{4 ({(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}})} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

解题步骤 4.12.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

解题步骤 4.12.3

重写表达式。

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

解题步骤 4.13

根据加法法则， $4 x^{4} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 4.14

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 4.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 4.16

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 4.17

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + 0)$

解题步骤 4.18

合并分数。

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解题步骤 4.18.1

将 $16 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3})$

解题步骤 4.18.2

组合 $16$ 和 $\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ 。

$\frac{16 \cdot 4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

解题步骤 4.18.3

将 $16$ 乘以 $4$ 。

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

解题步骤 4.18.4

组合 $\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

微积分学 示例

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