微积分学示例

$f (x) = 0.8 x^{3} - 4 x^{2} - 1$ , $[- 30, 4]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $0.8 x^{3} - 4 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [0.8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [0.8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [0.8 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $0.8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0.8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $0.8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$0.8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0.8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $0.8$ 。

$2.4 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2.4 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2.4 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$2.4 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2.4 x^{2} - 8 x + 0$

解题步骤 1.1.1.4.2

将 $2.4 x^{2} - 8 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2.4 x^{2} - 8 x$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2.4 x^{2} - 8 x$ 。

$2.4 x^{2} - 8 x$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2.4 x^{2} - 8 x = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2.4 x^{2} - 8 x = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $2.4 x^{2} - 8 x$ 中分解出因数 $0.8 x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $2.4 x^{2}$ 中分解出因数 $0.8 x$ 。

$0.8 x (3 x) - 8 x = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $0.8 x$ 。

$0.8 x (3 x) + 0.8 x (- 10) = 0$

解题步骤 1.2.2.3

从 $0.8 x (3 x) + 0.8 x (- 10)$ 中分解出因数 $0.8 x$ 。

$0.8 x (3 x - 10) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$3 x - 10 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $3 x - 10$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $3 x - 10$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 10 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

求解 $x$ 的 $3 x - 10 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.1

在等式两边都加上 $10$ 。

$3 x = 10$

解题步骤 1.2.5.2.2

将 $3 x = 10$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 1.2.5.2.2.1

将 $3 x = 10$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

解题步骤 1.2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.5.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

解题步骤 1.2.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{10}{3}$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $0.8 x (3 x - 10) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{10}{3}$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $0.8 x^{3} - 4 x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$0.8 {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} - 1$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0.8 \cdot 0 - 4 {(0)}^{2} - 1$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

将 $0.8$ 乘以 $0$ 。

$0 - 4 {(0)}^{2} - 1$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 4 \cdot 0 - 1$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 - 1$

解题步骤 1.4.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 - 1$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 1.4.2

在 $x = \frac{10}{3}$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $\frac{10}{3}$ 替换 $x$ 。

$0.8 {(\frac{10}{3})}^{3} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

对 $\frac{10}{3}$ 运用乘积法则。

$0.8 \frac{10^{3}}{3^{3}} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$0.8 \frac{1000}{3^{3}} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$0.8 (\frac{1000}{27}) - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.4

乘以 $0.8 (\frac{1000}{27})$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1.4.1

组合 $0.8$ 和 $\frac{1000}{27}$ 。

$\frac{0.8 \cdot 1000}{27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.4.2

将 $0.8$ 乘以 $1000$ 。

$\frac{800}{27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.5

约去 $800$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.5.1

将 $800$ 重写为 $1 (800)$ 。

$\frac{1 (800)}{27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.5.2.1

将 $27$ 重写为 $1 (27)$ 。

$\frac{1 \cdot 800}{1 \cdot 27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.2.2

约去公因数。

$\frac{1 \cdot 800}{1 \cdot 27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.2.3

重写表达式。

$\frac{800}{27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.6

对 $\frac{10}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{800}{27} - 4 \frac{10^{2}}{3^{2}} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.7

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{800}{27} - 4 \frac{100}{3^{2}} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{800}{27} - 4 (\frac{100}{9}) - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.9

乘以 $- 4 (\frac{100}{9})$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1.9.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{100}{9}$ 。

$\frac{800}{27} + \frac{- 4 \cdot 100}{9} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.9.2

将 $- 4$ 乘以 $100$ 。

$\frac{800}{27} + \frac{- 400}{9} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{800}{27} - \frac{400}{9} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.2

求公分母。

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解题步骤 1.4.2.2.2.1

将 $\frac{400}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{800}{27} - (\frac{400}{9} \cdot \frac{3}{3}) - 1$

解题步骤 1.4.2.2.2.2

将 $\frac{400}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 1$

解题步骤 1.4.2.2.2.3

将 $- 1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 1}{1}$

解题步骤 1.4.2.2.2.4

将 $\frac{- 1}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

解题步骤 1.4.2.2.2.5

将 $\frac{- 1}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

解题步骤 1.4.2.2.2.6

重新排序 $9 \cdot 3$ 的因式。

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

解题步骤 1.4.2.2.2.7

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{27} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

解题步骤 1.4.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{800 - 400 \cdot 3 - 1 \cdot 27}{27}$

解题步骤 1.4.2.2.4

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.4.1

将 $- 400$ 乘以 $3$ 。

$\frac{800 - 1200 - 1 \cdot 27}{27}$

解题步骤 1.4.2.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $27$ 。

$\frac{800 - 1200 - 27}{27}$

解题步骤 1.4.2.2.5

化简表达式。

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解题步骤 1.4.2.2.5.1

从 $800$ 中减去 $1200$ 。

$\frac{- 400 - 27}{27}$

解题步骤 1.4.2.2.5.2

从 $- 400$ 中减去 $27$ 。

$\frac{- 427}{27}$

解题步骤 1.4.2.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{427}{27}$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(0, - 1), (\frac{10}{3}, - \frac{427}{27})$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - 30$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 30$ 替换 $x$ 。

$0.8 {(- 30)}^{3} - 4 {(- 30)}^{2} - 1$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

对 $- 30$ 进行 $3$ 次方运算。

$0.8 \cdot - 27000 - 4 {(- 30)}^{2} - 1$

解题步骤 2.1.2.1.2

将 $0.8$ 乘以 $- 27000$ 。

$- 21600 - 4 {(- 30)}^{2} - 1$

解题步骤 2.1.2.1.3

对 $- 30$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 21600 - 4 \cdot 900 - 1$

解题步骤 2.1.2.1.4

将 $- 4$ 乘以 $900$ 。

$- 21600 - 3600 - 1$

解题步骤 2.1.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 2.1.2.2.1

从 $- 21600$ 中减去 $3600$ 。

$- 25200 - 1$

解题步骤 2.1.2.2.2

从 $- 25200$ 中减去 $1$ 。

$- 25201$

解题步骤 2.2

在 $x = 4$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

$0.8 {(4)}^{3} - 4 {(4)}^{2} - 1$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$0.8 \cdot 64 - 4 {(4)}^{2} - 1$

解题步骤 2.2.2.1.2

将 $0.8$ 乘以 $64$ 。

$51.2 - 4 {(4)}^{2} - 1$

解题步骤 2.2.2.1.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$51.2 - 4 \cdot 16 - 1$

解题步骤 2.2.2.1.4

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$51.2 - 64 - 1$

解题步骤 2.2.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 2.2.2.2.1

从 $51.2$ 中减去 $64$ 。

$- 12.8 - 1$

解题步骤 2.2.2.2.2

从 $- 12.8$ 中减去 $1$ 。

$- 13.8$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 30, - 25201), (4, - 13.8)$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(0, - 1)$

最小绝对值： $(- 30, - 25201)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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