微积分学示例

$\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x$

解题步骤 1

使 $u = 8 x$ 。然后使 $d u = 8 d x$ ，以便 $\frac{1}{8} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 8 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $8 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 8 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 8 \cdot 0$

解题步骤 1.3

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 8 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 8 \cdot 8$

解题步骤 1.5

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$u_{upper} = 64$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 64$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

解题步骤 2

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\int_{0}^{64} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{8}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{8}$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} \sqrt{u} d u$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $64$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.4

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 512 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $512$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.6

将 $2$ 乘以 $512$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.7

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.8

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

解题步骤 6.2.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.9.1

约去公因数。

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

解题步骤 6.2.9.2

重写表达式。

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 6.2.10

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

解题步骤 6.2.11

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

解题步骤 6.2.12

将 $0$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0)$

解题步骤 6.2.13

将 $\frac{1024}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1024}{3}$

解题步骤 6.2.14

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $\frac{1024}{3}$ 。

$\frac{1024}{8 \cdot 3}$

解题步骤 6.2.15

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1024}{24}$

解题步骤 6.2.16

约去 $1024$ 和 $24$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.16.1

从 $1024$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (128)}{24}$

解题步骤 6.2.16.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.16.2.1

从 $24$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

解题步骤 6.2.16.2.2

约去公因数。

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

解题步骤 6.2.16.2.3

重写表达式。

$\frac{128}{3}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{128}{3}$

小数形式：

$42.\overline{6}$

带分数形式：

$42 \frac{2}{3}$

解题步骤 8

微积分学 示例

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