微积分学示例

$\int (7 x^{2} - 5) (3 x^{3} + 4) d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\int 7 x^{2} (3 x^{3} + 4) - 5 (3 x^{3} + 4) d x$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\int 7 x^{2} (3 x^{3}) + 7 x^{2} \cdot 4 - 5 (3 x^{3} + 4) d x$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\int 7 x^{2} (3 x^{3}) + 7 x^{2} \cdot 4 - 5 (3 x^{3}) - 5 \cdot 4 d x$

解题步骤 1.4

移动 $x^{2}$ 。

$\int 7 \cdot 3 x^{2} x^{3} + 7 x^{2} \cdot 4 - 5 (3 x^{3}) - 5 \cdot 4 d x$

解题步骤 1.5

移动 $x^{2}$ 。

$\int 7 \cdot 3 x^{2} x^{3} + 7 \cdot 4 x^{2} - 5 (3 x^{3}) - 5 \cdot 4 d x$

解题步骤 1.6

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$\int 21 x^{2} x^{3} + 7 \cdot 4 x^{2} - 5 \cdot 3 x^{3} - 5 \cdot 4 d x$

解题步骤 1.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 21 x^{2 + 3} + 7 \cdot 4 x^{2} - 5 \cdot 3 x^{3} - 5 \cdot 4 d x$

解题步骤 1.8

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\int 21 x^{5} + 7 \cdot 4 x^{2} - 5 \cdot 3 x^{3} - 5 \cdot 4 d x$

解题步骤 1.9

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$\int 21 x^{5} + 28 x^{2} - 5 \cdot 3 x^{3} - 5 \cdot 4 d x$

解题步骤 1.10

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$\int 21 x^{5} + 28 x^{2} - 15 x^{3} - 5 \cdot 4 d x$

解题步骤 1.11

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$\int 21 x^{5} + 28 x^{2} - 15 x^{3} - 20 d x$

解题步骤 1.12

移动 $28 x^{2}$ 。

$\int 21 x^{5} - 15 x^{3} + 28 x^{2} - 20 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 21 x^{5} d x + \int - 15 x^{3} d x + \int 28 x^{2} d x + \int - 20 d x$

解题步骤 3

由于 $21$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $21$ 移到积分外。

$21 \int x^{5} d x + \int - 15 x^{3} d x + \int 28 x^{2} d x + \int - 20 d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{5}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{6} x^{6}$ 。

$21 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - 15 x^{3} d x + \int 28 x^{2} d x + \int - 20 d x$

解题步骤 5

由于 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 15$ 移到积分外。

$21 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 15 \int x^{3} d x + \int 28 x^{2} d x + \int - 20 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$21 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 15 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 28 x^{2} d x + \int - 20 d x$

解题步骤 7

由于 $28$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $28$ 移到积分外。

$21 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 15 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 28 \int x^{2} d x + \int - 20 d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$21 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 15 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 28 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 20 d x$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$21 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 15 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 28 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 20 x + C$

解题步骤 10

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解题步骤 10.1

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解题步骤 10.1.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $x^{6}$ 。

$21 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 15 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 28 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 20 x + C$

解题步骤 10.1.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$21 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 15 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 28 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 20 x + C$

解题步骤 10.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$21 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 15 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 28 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 20 x + C$

解题步骤 10.2

化简。

$\frac{7 x^{6}}{2} - \frac{15 x^{4}}{4} + \frac{28 x^{3}}{3} - 20 x + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$\frac{7}{2} x^{6} - \frac{15}{4} x^{4} + \frac{28}{3} x^{3} - 20 x + C$

微积分学 示例

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