微积分学示例

\int \frac{1}{e^{x}} d x

$\int \frac{1}{e^{x}} d x$

解题步骤 1

化简表达式。

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解题步骤 1.1

将

e^{x}

$e^{x}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

\int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x

$\int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

将

{(e^{x})}^{- 1}

${(e^{x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

\int 1 e^{x \cdot - 1} d x

$\int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.2.1.2

将

- 1

$- 1$ 移到

x

$x$ 的左侧。

\int 1 e^{- 1 \cdot x} d x

$\int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

解题步骤 1.2.1.3

将

- 1 x

$- 1 x$ 重写为

- x

$- x$ 。

\int 1 e^{- x} d x

$\int 1 e^{- x} d x$

\int 1 e^{- x} d x

$\int 1 e^{- x} d x$

解题步骤 1.2.2

将

e^{- x}

$e^{- x}$ 乘以

1

$1$ 。

\int e^{- x} d x

$\int e^{- x} d x$

\int e^{- x} d x

$\int e^{- x} d x$

\int e^{- x} d x

$\int e^{- x} d x$

解题步骤 2

使

u = - x

$u = - x$ 。然后使

d u = - d x

$d u = - d x$ ，以便

- d u = d x

$- d u = d x$ 。使用

u

$u$ 和

d

$d$

u

$u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设

u = - x

$u = - x$ 。求

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对

- x

$- x$ 求导。

\frac{d}{d x} [- x]

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.1.2

因为

- 1

$- 1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

- x

$- x$ 对

x

$x$ 的导数是

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ 。

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

- 1 \cdot 1

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

解题步骤 2.2

使用

u

$u$ 和

d u

$d u$ 重写该问题。

\int - e^{u} d u

$\int - e^{u} d u$

\int - e^{u} d u

$\int - e^{u} d u$

解题步骤 3

由于

- 1

$- 1$ 对于

u

$u$ 是常数，所以将

- 1

$- 1$ 移到积分外。

- \int e^{u} d u

$- \int e^{u} d u$

解题步骤 4

e^{u}

$e^{u}$ 对

u

$u$ 的积分为

e^{u}

$e^{u}$ 。

- (e^{u} + C)

$- (e^{u} + C)$

解题步骤 5

化简。

- e^{u} + C

$- e^{u} + C$

解题步骤 6

使用

- x

$- x$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

- e^{- x} + C

$- e^{- x} + C$

\int_{}^{} \frac{1}{e^{x}}

$\int_{}^{} \frac{1}{e^{x}}$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





∫

∫













7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π













1

1

2

2

3

3

-

-

+

+

÷

÷

<

<





∞

∞





!

!



,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$