微积分学示例

$f (x) = \csc (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$f' (x) = - \csc (x) \cot (x)$

解题步骤 1.2

重新排序 $- \csc (x) \cot (x)$ 的因式。

$f' (x) = - \cot (x) \csc (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cot (x) \csc (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x))$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

$f'' (x) = - (\cot (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

解题步骤 2.3

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$f'' (x) = - (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

解题步骤 2.4

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

解题步骤 2.5

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

解题步骤 2.8

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

解题步骤 2.9

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)))$

解题步骤 2.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

解题步骤 2.11

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

解题步骤 2.12

化简。

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解题步骤 2.12.1

运用分配律。

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x)) + \csc^{3} (x)$

解题步骤 2.12.2

合并项。

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解题步骤 2.12.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 (\csc (x) \cot^{2} (x)) + \csc^{3} (x)$

解题步骤 2.12.2.2

将 $\csc (x)$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x)$

解题步骤 2.12.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + 1 \csc^{3} (x)$

解题步骤 2.12.2.4

将 $\csc^{3} (x)$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x)$

解题步骤 2.12.3

重新排序项。

$f'' (x) = \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc^{3} (x)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\cot^{2} (x) \csc (x) + \csc^{3} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x)]$ 。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (\cot^{2} (x) \csc (x)) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc (x)]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cot^{2} (x)$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

$f''' (x) = \cot^{2} (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

解题步骤 3.2.2

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$f''' (x) = \cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

解题步骤 3.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cot (x)$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cot (x)$ 。

$f''' (x) = \cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cot (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

解题步骤 3.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = \cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\cot (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

解题步骤 3.2.3.3

使用 $\cot (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f''' (x) = \cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) \frac{d}{d x} (\cot (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

解题步骤 3.2.4

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$f''' (x) = \cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

解题步骤 3.2.5

通过指数相加将 $\cot^{2} (x)$ 乘以 $\cot (x)$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

移动 $\cot (x)$ 。

$f''' (x) = \cot (x) \cot^{2} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

解题步骤 3.2.5.2

将 $\cot (x)$ 乘以 $\cot^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.2.5.2.1

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = \cot (x) \cot^{2} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

解题步骤 3.2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = {\cot (x)}^{1 + 2} (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

解题步骤 3.2.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

解题步骤 3.2.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (- 2 \cot (x) \csc^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

解题步骤 3.2.7

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) (\csc (x) \csc^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

解题步骤 3.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) {\csc (x)}^{1 + 2} + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

解题步骤 3.2.9

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\csc^{3} (x)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\csc (x)$ 。

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) + \frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{3}) \frac{d}{d x} (\csc (x))$

解题步骤 3.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} (\csc (x))$

解题步骤 3.3.1.3

使用 $\csc (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) + 3 \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} (\csc (x))$

解题步骤 3.3.2

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) + 3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) - 3 \csc^{2} (x) (\csc (x) \cot (x))$

解题步骤 3.3.4

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) - 3 (\csc (x) \csc^{2} (x)) \cot (x)$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) - 3 {\csc (x)}^{1 + 2} \cot (x)$

解题步骤 3.3.6

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) - 3 \csc^{3} (x) \cot (x)$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

合并项。

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解题步骤 3.4.1.1

重新排序 $- 2 \cot (x) \csc^{3} (x)$ 的因式。

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \csc^{3} (x) \cot (x) - 3 \csc^{3} (x) \cot (x)$

解题步骤 3.4.1.2

从 $- 2 \csc^{3} (x) \cot (x)$ 中减去 $3 \csc^{3} (x) \cot (x)$ 。

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 5 \csc^{3} (x) \cot (x)$

解题步骤 3.4.2

重新排序项。

$f''' (x) = - \cot^{3} (x) \csc (x) - 5 \csc^{3} (x) \cot (x)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $- \cot^{3} (x) \csc (x) - 5 \csc^{3} (x) \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \cot^{3} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \csc^{3} (x) \cot (x)]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- \cot^{3} (x) \csc (x)) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \cot^{3} (x) \csc (x)]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cot^{3} (x) \csc (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cot^{3} (x) \csc (x)]$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{d}{d x} (\cot^{3} (x) \csc (x)) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

解题步骤 4.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cot^{3} (x)$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot^{3} (x))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

解题步骤 4.2.3

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot^{3} (x))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

解题步骤 4.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \cot (x)$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cot (x)$ 。

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{3}) \frac{d}{d x} (\cot (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

解题步骤 4.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} (\cot (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

解题步骤 4.2.4.3

使用 $\cot (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

解题步骤 4.2.5

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

解题步骤 4.2.6

通过指数相加将 $\cot^{3} (x)$ 乘以 $\cot (x)$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

移动 $\cot (x)$ 。

$f^{4} (x) = - (\cot (x) \cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

解题步骤 4.2.6.2

将 $\cot (x)$ 乘以 $\cot^{3} (x)$ 。

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解题步骤 4.2.6.2.1

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = - (\cot (x) \cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

解题步骤 4.2.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = - ({\cot (x)}^{1 + 3} (- \csc (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

解题步骤 4.2.6.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

解题步骤 4.2.7

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (- 3 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

解题步骤 4.2.8

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) (\csc (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

解题步骤 4.2.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

解题步骤 4.2.10

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 \csc^{3} (x) \cot (x)]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 \csc^{3} (x) \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x) \cot (x)]$ 。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x) \cot (x))$

解题步骤 4.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \csc^{3} (x)$ 且 $g (x) = \cot (x)$ 。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x)))$

解题步骤 4.3.3

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x)))$

解题步骤 4.3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\csc (x)$ 。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{3}) \frac{d}{d x} (\csc (x))))$

解题步骤 4.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} (\csc (x))))$

解题步骤 4.3.4.3

使用 $\csc (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} (\csc (x))))$

解题步骤 4.3.5

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

解题步骤 4.3.6

通过指数相加将 $\csc^{3} (x)$ 乘以 $\csc^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.3.6.1

移动 $\csc^{2} (x)$ 。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{2} (x) \csc^{3} (x) \cdot - 1 + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

解题步骤 4.3.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 ({\csc (x)}^{2 + 3} \cdot - 1 + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

解题步骤 4.3.6.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{5} (x) \cdot - 1 + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

解题步骤 4.3.7

将 $- 1$ 移到 $\csc^{5} (x)$ 的左侧。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- 1 \cdot \csc^{5} (x) + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

解题步骤 4.3.8

将 $- 1 \csc^{5} (x)$ 重写为 $- \csc^{5} (x)$ 。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

解题步骤 4.3.9

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) + \cot (x) (- 3 \csc^{2} (x) (\csc (x) \cot (x))))$

解题步骤 4.3.10

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) + \cot (x) (- 3 (\csc (x) \csc^{2} (x)) \cot (x)))$

解题步骤 4.3.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) + \cot (x) (- 3 {\csc (x)}^{1 + 2} \cot (x)))$

解题步骤 4.3.12

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) + \cot (x) (- 3 \csc^{3} (x) \cot (x)))$

解题步骤 4.3.13

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) - 3 \csc^{3} (x) (\cot (x) \cot (x)))$

解题步骤 4.3.14

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) - 3 \csc^{3} (x) (\cot (x) \cot (x)))$

解题步骤 4.3.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) - 3 \csc^{3} (x) {\cot (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 4.3.16

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) - 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x))) - (- 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) - 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

解题步骤 4.4.2

运用分配律。

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x))) - (- 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x)) - 5 (- 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

解题步骤 4.4.3

合并项。

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解题步骤 4.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = 1 (\cot^{4} (x) (\csc (x))) - (- 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x)) - 5 (- 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

解题步骤 4.4.3.2

将 $\cot^{4} (x)$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) - (- 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x)) - 5 (- 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

解题步骤 4.4.3.3

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) + 3 (\cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x)) - 5 (- 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

解题步骤 4.4.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) + 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x) + 5 \csc^{5} (x) - 5 (- 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

解题步骤 4.4.3.5

将 $- 3$ 乘以 $- 5$ 。

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) + 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x) + 5 \csc^{5} (x) + 15 (\csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

解题步骤 4.4.3.6

重新排序 $3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)$ 的因式。

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) + 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x) + 5 \csc^{5} (x) + 15 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x)$

解题步骤 4.4.3.7

将 $3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x)$ 和 $15 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x)$ 相加。

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) + 18 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x) + 5 \csc^{5} (x)$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $\cot^{4} (x) \csc (x) + 18 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x) + 5 \csc^{5} (x)$ 。

$\cot^{4} (x) \csc (x) + 18 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x) + 5 \csc^{5} (x)$

微积分学 示例

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