微积分学示例

$f (x) = x e^{- x}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- x}$ 。

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

解题步骤 1.3.5

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

重新排序项。

$- e^{- x} x + e^{- x}$

解题步骤 1.4.2

将 $- e^{- x} x + e^{- x}$ 中的因式重新排序。

$- x e^{- x} + e^{- x}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- x e^{- x} + e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- x}$ 。

$f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x$ 。

$f'' (x) = - (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 2.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 2.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 2.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 2.2.8

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$f'' (x) = - (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 2.2.9

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 2.2.10

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 2.3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.5

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}$

解题步骤 2.3.6

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = - (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

解题步骤 2.4.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}$

解题步骤 2.4.2.3

从 $- e^{- x}$ 中减去 $e^{- x}$ 。

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$f'' (x) = e^{- x} x - 2 e^{- x}$

解题步骤 2.4.4

将 $e^{- x} x - 2 e^{- x}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- x}$ 。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.3

求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 4.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.3.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$f' (x) = x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.3.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.5

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x}$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

重新排序项。

$f' (x) = - e^{- x} x + e^{- x}$

解题步骤 4.1.4.2

将 $- e^{- x} x + e^{- x}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- x e^{- x} + e^{- x}$ 。

$- x e^{- x} + e^{- x}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

解题步骤 5.2

从 $- x e^{- x} + e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $- x e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

解题步骤 5.2.2

乘以 $1$ 。

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

解题步骤 5.4

将 $e^{- x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $e^{- x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- x} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

解题步骤 5.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.4.2.3

$e^{- x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 5.5

将 $- x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $- x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$- x + 1 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $- x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- x = - 1$

解题步骤 5.5.2.2

将 $- x = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.2.1

将 $- x = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.5.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x = 1$

解题步骤 5.6

最终解为使 $e^{- x} (- x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 1$

解题步骤 8

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$(1) e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

将 $e^{- (1)}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

解题步骤 9.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 1} - 2 e^{- (1)}$

解题步骤 9.1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e} - 2 e^{- (1)}$

解题步骤 9.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{e} - 2 e^{- 1}$

解题步骤 9.1.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e} - 2 \frac{1}{e}$

解题步骤 9.1.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$\frac{1}{e} + \frac{- 2}{e}$

解题步骤 9.1.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{e} - \frac{2}{e}$

解题步骤 9.2

合并分数。

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解题步骤 9.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - 2}{e}$

解题步骤 9.2.2

化简表达式。

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解题步骤 9.2.2.1

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 1}{e}$

解题步骤 9.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{e}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 1$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

将 $e^{- (1)}$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = e^{- (1)}$

解题步骤 11.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = e^{- 1}$

解题步骤 11.2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (1) = \frac{1}{e}$

解题步骤 11.2.4

最终答案为 $\frac{1}{e}$ 。

$y = \frac{1}{e}$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = x e^{- x}$ 的局部极值。

$(1, \frac{1}{e})$ 是一个局部最大值

解题步骤 13

微积分学 示例

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