微积分学示例

$\int \frac{1}{5 - 3 x} d x$

解题步骤 1

使 $u = 5 - 3 x$ 。然后使 $d u = - 3 d x$ ，以便 $- \frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 5 - 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $5 - 3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $5 - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 3 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$0 - 3$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$- 3$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u$

解题步骤 2.3

将 $3$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int - \frac{1}{3 u} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{3 u} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 6

化简。

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

解题步骤 7

使用 $5 - 3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{3} \ln (| 5 - 3 x |) + C$

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