微积分学示例

$x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3} = 8$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (8)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2} y$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 。

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2.5

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} y'$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) + 3 y^{2} y'$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 y x + 3 y^{2} y'$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y'$

解题步骤 3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $3 x^{2}$ 。

$3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.1.2

从等式两边同时减去 $6 x y$ 。

$3 x^{2} y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

解题步骤 5.2

从 $3 x^{2} y' + 3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $3 x^{2} y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' x^{2} + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

解题步骤 5.2.2

从 $3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' x^{2} + 3 y' y^{2} = - 3 x^{2} - 6 x y$

解题步骤 5.2.3

从 $3 y' x^{2} + 3 y' y^{2}$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$

解题步骤 5.3

将 $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ 中的每一项除以 $3 (x^{2} + y^{2})$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ 中的每一项都除以 $3 (x^{2} + y^{2})$ 。

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $x^{2} + y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.3

约去 $- 6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.3.1

从 $- 6 x y$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.3.2.1

约去公因数。

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.3.2.2

重写表达式。

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2

化简项。

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解题步骤 5.3.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2.2

从 $- x^{2} - 2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.2.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (- x) - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2.2.2

从 $- 2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (- x) + x (- 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2.2.3

从 $x (- x) + x (- 2 y)$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (- x - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2.3

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{x (- (x) - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2.4

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{x (- (x) - (2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2.5

从 $- (x) - (2 y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{x (- (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2.6

化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.2.6.1

将 $- (x + 2 y)$ 重写为 $- 1 (x + 2 y)$ 。

$y' = \frac{x (- 1 (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2.6.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

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