微积分学示例

$\int \sin^{2} (θ) d θ$

解题步骤 1

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (θ)$ 的形式。

$\int \frac{1 - \cos (2 θ)}{2} d θ$

解题步骤 2

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $θ$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 θ) d θ$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int d θ + \int - \cos (2 θ) d θ)$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (θ + C + \int - \cos (2 θ) d θ)$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $θ$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (2 θ) d θ)$

解题步骤 6

使 $u = 2 θ$ 。然后使 $d u = 2 d θ$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d θ$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = 2 θ$ 。求 $\frac{d u}{d θ}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $2 θ$ 求导。

$\frac{d}{d θ} [2 θ]$

解题步骤 6.1.2

因为 $2$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $2 θ$ 对 $θ$ 的导数是 $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ 。

$2 \frac{d}{d θ} [θ]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 等于 $n θ^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 6.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 7

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (θ + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

解题步骤 9

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} (θ + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

解题步骤 10

化简。

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 11

使用 $2 θ$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (2 θ)) + C$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

组合 $\sin (2 θ)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (θ - \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

解题步骤 12.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} θ + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

解题步骤 12.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $θ$ 。

$\frac{θ}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

解题步骤 12.4

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2})$ 。

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解题步骤 12.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sin (2 θ)}{2}$ 。

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 12.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{4} + C$

解题步骤 13

重新排序项。

$\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$

微积分学 示例

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