微积分学示例

\int x \sqrt{x} d x

$\int x \sqrt{x} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ 重写成

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ 。

\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 1.2

通过指数相加将

x

$x$ 乘以

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

将

x

$x$ 乘以

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

对

x

$x$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 1.2.1.2

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

\int x^{1 + \frac{1}{2}} d x

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

\int x^{1 + \frac{1}{2}} d x

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 1.2.2

将

1

$1$ 写成具有公分母的分数。

\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 1.2.3

在公分母上合并分子。

\int x^{\frac{2 + 1}{2}} d x

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

解题步骤 1.2.4

将

2

$2$ 和

1

$1$ 相加。

\int x^{\frac{3}{2}} d x

$\int x^{\frac{3}{2}} d x$

\int x^{\frac{3}{2}} d x

$\int x^{\frac{3}{2}} d x$

\int x^{\frac{3}{2}} d x

$\int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 2

根据幂法则，

x^{\frac{3}{2}}

$x^{\frac{3}{2}}$ 对

x

$x$ 的积分是

\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$