微积分学示例

${(x + x^{- 1})}^{3}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x + x^{- 1}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + x^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

解题步骤 1.3

使用 $x + x^{- 1}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x + x^{- 1}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ 。

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (1 - x^{- 2})$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$3 {(x + \frac{1}{x})}^{2} (1 - x^{- 2})$

解题步骤 3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$3 {(x + \frac{1}{x})}^{2} (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.3

将 ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ 重写为 $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ 。

$3 ((x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.4

使用 FOIL 方法展开 $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ 。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$3 (x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.4.2

运用分配律。

$3 (x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.4.3

运用分配律。

$3 (x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 (x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.5.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1.2.1

约去公因数。

$3 (x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.5.1.2.2

重写表达式。

$3 (x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.5.1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1.3.1

约去公因数。

$3 (x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.5.1.3.2

重写表达式。

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.5.1.4

乘以 $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 3.5.1.4.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.5.1.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.5.1.4.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.5.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.5.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.5.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 (x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.6

运用分配律。

$(3 x^{2} + 3 \cdot 2 + 3 \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$(3 x^{2} + 6 + 3 \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.7.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$(3 x^{2} + 6 + \frac{3}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.8

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(3 x^{2} + 6 + \frac{3}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$ 。

$3 x^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.9

化简每一项。

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解题步骤 3.9.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} + 3 x^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.9.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.2.1

将 $- \frac{1}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$3 x^{2} + 3 x^{2} \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.9.2.2

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$3 x^{2} + x^{2} \cdot 3 \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.9.2.3

约去公因数。

$3 x^{2} + x^{2} \cdot 3 \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.9.2.4

重写表达式。

$3 x^{2} + 3 \cdot - 1 + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.9.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x^{2} - 3 + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.9.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 3 + 6 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.9.5

乘以 $6 (- \frac{1}{x^{2}})$ 。

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解题步骤 3.9.5.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$3 x^{2} - 3 + 6 - 6 \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.9.5.2

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.9.6

将负号移到分数的前面。

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.9.7

将 $\frac{3}{x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.9.8

使用乘法的交换性质重写。

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3.9.9

乘以 $- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 3.9.9.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{3}{x^{2}}$ 。

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2} x^{2}}$

解题步骤 3.9.9.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.9.9.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2 + 2}}$

解题步骤 3.9.9.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$

解题步骤 3.10

在公分母上合并分子。

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 6 + 3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

解题步骤 3.11

将 $- 6$ 和 $3$ 相加。

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

解题步骤 3.12

化简每一项。

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解题步骤 3.12.1

将负号移到分数的前面。

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

解题步骤 3.12.2

将负号移到分数的前面。

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$

解题步骤 3.13

将 $- 3$ 和 $6$ 相加。

$3 x^{2} + 3 - \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$

微积分学 示例

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