微积分学示例

\int e^{x} sin (x) d x

$\int e^{x} \sin (x) d x$

解题步骤 1

将

e^{x}

$e^{x}$ 和

sin (x)

$\sin (x)$ 重新排序。

\int sin (x) e^{x} d x

$\int \sin (x) e^{x} d x$

解题步骤 2

利用公式

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中

u = sin (x)

$u = \sin (x)$ ，

d v = e^{x}

$d v = e^{x}$ 。

sin (x) e^{x} - \int e^{x} cos (x) d x

$\sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

解题步骤 3

将

e^{x}

$e^{x}$ 和

cos (x)

$\cos (x)$ 重新排序。

sin (x) e^{x} - \int cos (x) e^{x} d x

$\sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

解题步骤 4

利用公式

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中

u = cos (x)

$u = \cos (x)$ ，

d v = e^{x}

$d v = e^{x}$ 。

sin (x) e^{x} - (cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- sin (x)) d x)

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

解题步骤 5

由于

- 1

$- 1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以将

- 1

$- 1$ 移到积分外。

sin (x) e^{x} - (cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (sin (x)) d x)

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

解题步骤 6

通过相乘进行化简。

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解题步骤 6.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

sin (x) e^{x} - (cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (sin (x)) d x)

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

解题步骤 6.2

将

\int e^{x} (sin (x)) d x

$\int e^{x} (\sin (x)) d x$ 乘以

1

$1$ 。

sin (x) e^{x} - (cos (x) e^{x} + \int e^{x} (sin (x)) d x)

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

解题步骤 6.3

运用分配律。

sin (x) e^{x} - (cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (sin (x)) d x

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

sin (x) e^{x} - (cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (sin (x)) d x

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

解题步骤 7

求解

\int e^{x} sin (x) d x

$\int e^{x} \sin (x) d x$ ，我们发现

\int e^{x} sin (x) d x

$\int e^{x} \sin (x) d x$ =

\frac{sin (x) e^{x} - (cos (x) e^{x})}{2}

$\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ 。

\frac{sin (x) e^{x} - (cos (x) e^{x})}{2} + C

$\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

解题步骤 8

将

\frac{sin (x) e^{x} - cos (x) e^{x}}{2} + C

$\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ 重写为

\frac{1}{2} (sin (x) e^{x} - cos (x) e^{x}) + C

$\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ 。

\frac{1}{2} (sin (x) e^{x} - cos (x) e^{x}) + C

$\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

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