微积分学示例

lim x \to 0 \frac{sin (5 x)}{x}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

\frac{lim x \to 0 sin (5 x)}{lim x \to 0 x}

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

\frac{sin (lim x \to 0 5 x)}{lim x \to 0 x}

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.1.2

因为项

5

$5$ 对于

x

$x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

\frac{sin (5 lim x \to 0 x)}{lim x \to 0 x}

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{sin (5 lim x \to 0 x)}{lim x \to 0 x}

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.2

将

0

$0$ 代入

x

$x$ 来计算

x

$x$ 的极限值。

\frac{sin (5 \cdot 0)}{lim x \to 0 x}

$\frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将

5

$5$ 乘以

0

$0$ 。

\frac{sin (0)}{lim x \to 0 x}

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3.2

sin (0)

$\sin (0)$ 的准确值为

0

$0$ 。

\frac{0}{lim x \to 0 x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{0}{lim x \to 0 x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{0}{lim x \to 0 x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3

将

0

$0$ 代入

x

$x$ 来计算

x

$x$ 的极限值。

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母

0

$0$ 。该表达式无定义。

无定义

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

lim x \to 0 \frac{sin (5 x)}{x} = lim x \to 0 \frac{\frac{d}{d x} [sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

lim x \to 0 \frac{\frac{d}{d x} [sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

$f (x) = \sin (x)$ 且

$g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将

$u$ 设为

$5 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2.2

$\sin (u)$ 对

$u$ 的导数为

$\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2.3

使用

$5 x$ 替换所有出现的

$u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3

因为

$5$ 对于

$x$ 是常数，所以

$5 x$ 对

$x$ 的导数是

$5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.5

将

$5$ 乘以

$1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.6

将

$5$ 移到

$\cos (5 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{1}$

解题步骤 1.4

用

$5 \cos (5 x)$ 除以

$1$ 。

$lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项

$5$ 对于

$x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

解题步骤 2.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$5 \cos (lim_{x \to 0} 5 x)$

解题步骤 2.3

因为项

$5$ 对于

$x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 3

将

$0$ 代入

$x$ 来计算

$x$ 的极限值。

$5 \cos (5 \cdot 0)$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

将

$5$ 乘以

$0$ 。

$5 \cos (0)$

解题步骤 4.2

$\cos (0)$ 的准确值为

$1$ 。

$5 \cdot 1$

解题步骤 4.3

将

$5$ 乘以

$1$ 。

$5$

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