微积分学示例

$\sqrt{x} (x - 10)$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 10)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x - 10$ 。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 10] + (x - 10) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x - 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ 。

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]) + (x - 10) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 10]) + (x - 10) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 10) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 10) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.4.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 10) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 10) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 10) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 10) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 10) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 10) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 10) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 10) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 10) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 10) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 10 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2

合并项。

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解题步骤 11.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 10 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 10 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 11.2.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 11.2.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 10 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 10 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 10 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.3.3

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 10 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.3.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 10 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.4

组合 $- 10$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 10}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.5

从 $- 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.6

约去公因数。

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解题步骤 11.2.6.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 11.2.6.2

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.6.3

重写表达式。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 5}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.7

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.8

要将 $x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.9

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.10

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.11

将 $2$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.12

将 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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