微积分学示例

lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

\frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

\frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.2

将

0

$0$ 代入

x

$x$ 来计算

x

$x$ 的极限值。

\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3

\tan (0)

$\tan (0)$ 的准确值为

0

$0$ 。

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3

将

0

$0$ 代入

x

$x$ 来计算

x

$x$ 的极限值。

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母

0

$0$ 。该表达式无定义。

无定义

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2

\tan (x)

$\tan (x)$ 对

x

$x$ 的导数为

\sec^{2} (x)

$\sec^{2} (x)$ 。

lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

解题步骤 1.4

用

\sec^{2} (x)

$\sec^{2} (x)$ 除以

1

$1$ 。

lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)

$lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)

$lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

使用极限幂法则把

\sec^{2} (x)

$\sec^{2} (x)$ 的指数

2

$2$ 移到极限外。

{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}

${(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

解题步骤 2.2

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)

$\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)

$\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 3

将

0

$0$ 代入

x

$x$ 来计算

x

$x$ 的极限值。

\sec^{2} (0)

$\sec^{2} (0)$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

\sec (0)

$\sec (0)$ 的准确值为

1

$1$ 。

1^{2}

$1^{2}$

解题步骤 4.2

一的任意次幂都为一。

1

$1$

1

$1$

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