微积分学示例

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 2$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 2$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2} + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

解题步骤 6.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

解题步骤 7

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

解题步骤 8

将 $\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 9

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 10

从 $3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 11

约去公因数。

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解题步骤 11.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 11.2

约去公因数。

$\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 11.3

重写表达式。

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 12

根据加法法则， $x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 14

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

解题步骤 15

化简项。

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解题步骤 15.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

解题步骤 15.2

组合 $2$ 和 $\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} x$

解题步骤 15.3

组合 $\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

解题步骤 15.4

约去公因数。

$\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

解题步骤 15.5

化简表达式。

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解题步骤 15.5.1

用 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ 除以 $1$ 。

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$

解题步骤 15.5.2

重新排序 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ 的因式。

$x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

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