微积分学示例

\sin (5 x)

$\sin (5 x)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

f (x) = \sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ 且

g (x) = 5 x

$g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将

u

$u$ 设为

5 x

$5 x$ 。

\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 1.2

\sin (u)

$\sin (u)$ 对

u

$u$ 的导数为

\cos (u)

$\cos (u)$ 。

\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]

$\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 1.3

使用

5 x

$5 x$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]

$\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]$

\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]

$\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

因为

5

$5$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

5 x

$5 x$ 对

x

$x$ 的导数是

5 \frac{d}{d x} [x]

$5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])

$\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

\cos (5 x) (5 \cdot 1)

$\cos (5 x) (5 \cdot 1)$

解题步骤 2.3

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1

将

5

$5$ 乘以

1

$1$ 。

\cos (5 x) \cdot 5

$\cos (5 x) \cdot 5$

解题步骤 2.3.2

将

5

$5$ 移到

\cos (5 x)

$\cos (5 x)$ 的左侧。

5 \cos (5 x)

$5 \cos (5 x)$

5 \cos (5 x)

$5 \cos (5 x)$

5 \cos (5 x)

$5 \cos (5 x)$

[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$