微积分学示例

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x^{4}}}}{x^{5}} d x$

解题步骤 1

使 $u = \frac{1}{x^{4}}$ 。然后使 $d u = - \frac{4}{x^{5}} d x$ ，以便 $1 d u = - \frac{4}{x^{5}} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \frac{1}{x^{4}}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\frac{1}{x^{4}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 1.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $\frac{1}{x^{4}}$ 重写为 ${(x^{4})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.2.2

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

解题步骤 1.1.2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 4$ 。

$- 4 x^{- 5}$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 4 \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 1.1.4.2

合并项。

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解题步骤 1.1.4.2.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$\frac{- 4}{x^{5}}$

解题步骤 1.1.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{x^{5}}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \frac{1}{x^{4}}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \frac{1}{1^{4}}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

一的任意次幂都为一。

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

解题步骤 1.3.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \frac{1}{x^{4}}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \frac{1}{2^{4}}$

解题步骤 1.5

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$u_{upper} = \frac{1}{16}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{16}$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} e^{u} d u$

解题步骤 2

由于 $- \frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- \frac{1}{4} \int_{1}^{\frac{1}{16}} e^{u} d u$

解题步骤 3

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{1}{4} e^{u}]_{1}^{\frac{1}{16}}$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $e^{u}$ 在 $\frac{1}{16}$ 处和在 $1$ 处的值。

$- \frac{1}{4} ((e^{\frac{1}{16}}) - e^{1})$

解题步骤 4.2

化简。

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{16}} - e)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} (- e)$

解题步骤 5.2

组合 $e^{\frac{1}{16}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} - \frac{1}{4} (- e)$

解题步骤 5.3

乘以 $- \frac{1}{4} (- e)$ 。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + 1 (\frac{1}{4}) e$

解题步骤 5.3.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{1}{4} e$

解题步骤 5.3.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e$ 。

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}$

小数形式：

$0.41344684 \dots$

解题步骤 7

微积分学 示例

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