微积分学示例

$\int \frac{1}{9 x^{2} + 16} d x$

解题步骤 1

将 $9 x^{2}$ 和 $16$ 重新排序。

$\int \frac{1}{16 + 9 x^{2}} d x$

解题步骤 2

从 $16 + 9 x^{2}$ 中分解出因数 $9$ 。

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解题步骤 2.1

从 $16$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{1}{9 (\frac{16}{9}) + 9 x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

从 $9 x^{2}$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{1}{9 (\frac{16}{9}) + 9 (x^{2})} d x$

解题步骤 2.3

从 $9 (\frac{16}{9}) + 9 (x^{2})$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{1}{9 (\frac{16}{9} + x^{2})} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{9}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{9}$ 移到积分外。

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{16}{9} + x^{2}} d x$

解题步骤 4

将 $\frac{16}{9}$ 重写为 ${(\frac{4}{3})}^{2}$ 。

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{4}{3})}^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 5

$\frac{1}{{(\frac{4}{3})}^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{\frac{4}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C$ 。

$\frac{1}{9} (\frac{1}{\frac{4}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C)$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简。

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解题步骤 6.1.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{4}{3}$ 。

$\frac{1}{9} (1 (\frac{3}{4}) \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C)$

解题步骤 6.1.2

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C)$

解题步骤 6.1.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{4}{3}$ 。

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (x \frac{3}{4}) + C)$

解题步骤 6.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (\frac{x \cdot 3}{4}) + C)$

解题步骤 6.1.5

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (\frac{3 \cdot x}{4}) + C)$

解题步骤 6.1.6

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $\arctan (\frac{3 x}{4})$ 。

$\frac{1}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{4})}{4} + C)$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{4})}{4} + C)$ 重写为 $\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{4} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{4} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{3}{9 \cdot 4} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

解题步骤 6.3.2

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3}{36} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

解题步骤 6.3.3

约去 $3$ 和 $36$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (1)}{36} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

解题步骤 6.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

解题步骤 6.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

解题步骤 6.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{12} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

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