微积分学示例

\frac{x}{e^{x}}

$\frac{x}{e^{x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中

f (x) = x

$f (x) = x$ 且

g (x) = e^{x}

$g (x) = e^{x}$ 。

\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1

将

{(e^{x})}^{2}

${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将

2

$2$ 移到

x

$x$ 的左侧。

\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

\frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}

$\frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 2.3

将

e^{x}

$e^{x}$ 乘以

1

$1$ 。

\frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}

$\frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

\frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}

$\frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于

a^{x} \ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ ，其中

a

$a$ =

e

$e$ 。

\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}

$\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

\frac{- e^{x} x + e^{x}}{e^{2 x}}

$\frac{- e^{x} x + e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.2

从

- e^{x} x + e^{x}

$- e^{x} x + e^{x}$ 中分解出因数

e^{x}

$e^{x}$ 。

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解题步骤 4.2.1

从

- e^{x} x

$- e^{x} x$ 中分解出因数

e^{x}

$e^{x}$ 。

\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{e^{2 x}}

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.2.2

乘以

1

$1$ 。

\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x}}

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.2.3

从

e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ 中分解出因数

e^{x}

$e^{x}$ 。

\frac{e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}

$\frac{e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

\frac{e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}

$\frac{e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.3

约去

e^{x}

$e^{x}$ 和

e^{2 x}

$e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从

e^{x} (- x + 1)

$e^{x} (- x + 1)$ 中分解出因数

e^{2 x}

$e^{2 x}$ 。

\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

乘以

1

$1$ 。

\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

\frac{e^{- x} (- x + 1)}{1}

$\frac{e^{- x} (- x + 1)}{1}$

解题步骤 4.3.2.4

用

e^{- x} (- x + 1)

$e^{- x} (- x + 1)$ 除以

1

$1$ 。

e^{- x} (- x + 1)

$e^{- x} (- x + 1)$

e^{- x} (- x + 1)

$e^{- x} (- x + 1)$

e^{- x} (- x + 1)

$e^{- x} (- x + 1)$

解题步骤 4.4

运用分配律。

e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$

解题步骤 4.5

使用乘法的交换性质重写。

- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

解题步骤 4.6

将

e^{- x}

$e^{- x}$ 乘以

1

$1$ 。

- e^{- x} x + e^{- x}

$- e^{- x} x + e^{- x}$

解题步骤 4.7

将

- e^{- x} x + e^{- x}

$- e^{- x} x + e^{- x}$ 中的因式重新排序。

- x e^{- x} + e^{- x}

$- x e^{- x} + e^{- x}$

- x e^{- x} + e^{- x}

$- x e^{- x} + e^{- x}$

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