微积分学示例

\int_{0}^{10} 4 x^{2} + 7 d x

$\int_{0}^{10} 4 x^{2} + 7 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

\int_{0}^{10} 4 x^{2} d x + \int_{0}^{10} 7 d x

$\int_{0}^{10} 4 x^{2} d x + \int_{0}^{10} 7 d x$

解题步骤 2

由于

4

$4$ 对于

x

$x$ 是常数，所以将

4

$4$ 移到积分外。

4 \int_{0}^{10} x^{2} d x + \int_{0}^{10} 7 d x

$4 \int_{0}^{10} x^{2} d x + \int_{0}^{10} 7 d x$

解题步骤 3

根据幂法则，

x^{2}

$x^{2}$ 对

x

$x$ 的积分是

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ 。

4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{10}) + \int_{0}^{10} 7 d x

$4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{10}) + \int_{0}^{10} 7 d x$

解题步骤 4

组合

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 和

x^{3}

$x^{3}$ 。

4 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{10}) + \int_{0}^{10} 7 d x

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{10}) + \int_{0}^{10} 7 d x$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

4 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{10}) + 7 x]_{0}^{10}

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{10}) + 7 x]_{0}^{10}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算

\frac{x^{3}}{3}

$\frac{x^{3}}{3}$ 在

10

$10$ 处和在

0

$0$ 处的值。

4 ((\frac{10^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 7 x]_{0}^{10}

$4 ((\frac{10^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 7 x]_{0}^{10}$

解题步骤 6.2

计算

7 x

$7 x$ 在

10

$10$ 处和在

0

$0$ 处的值。

4 (\frac{10^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0

$4 (\frac{10^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

对

10

$10$ 进行

3

$3$ 次方运算。

4 (\frac{1000}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0

$4 (\frac{1000}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0$

解题步骤 6.3.2

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

4 (\frac{1000}{3} - \frac{0}{3}) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0

$4 (\frac{1000}{3} - \frac{0}{3}) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0$

解题步骤 6.3.3

约去

0

$0$ 和

3

$3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.1

从

0

$0$ 中分解出因数

3

$3$ 。

4 (\frac{1000}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0

$4 (\frac{1000}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0$

解题步骤 6.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.1

从

3

$3$ 中分解出因数

3

$3$ 。

4 (\frac{1000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0

$4 (\frac{1000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0$

解题步骤 6.3.3.2.2

约去公因数。

4 (\frac{1000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0

$4 (\frac{1000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0$

解题步骤 6.3.3.2.3

重写表达式。

4 (\frac{1000}{3} - \frac{0}{1}) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0

$4 (\frac{1000}{3} - \frac{0}{1}) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0$

解题步骤 6.3.3.2.4

用

0

$0$ 除以

1

$1$ 。

4 (\frac{1000}{3} - 0) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0

$4 (\frac{1000}{3} - 0) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0$

4 (\frac{1000}{3} - 0) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0

$4 (\frac{1000}{3} - 0) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0$

4 (\frac{1000}{3} - 0) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0

$4 (\frac{1000}{3} - 0) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0$

解题步骤 6.3.4

将

- 1

$- 1$ 乘以

0

$0$ 。

4 (\frac{1000}{3} + 0) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0

$4 (\frac{1000}{3} + 0) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0$

解题步骤 6.3.5

将

\frac{1000}{3}

$\frac{1000}{3}$ 和

0

$0$ 相加。

4 (\frac{1000}{3}) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0

$4 (\frac{1000}{3}) + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0$

解题步骤 6.3.6

组合

4

$4$ 和

\frac{1000}{3}

$\frac{1000}{3}$ 。

\frac{4 \cdot 1000}{3} + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0

$\frac{4 \cdot 1000}{3} + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0$

解题步骤 6.3.7

将

4

$4$ 乘以

1000

$1000$ 。

\frac{4000}{3} + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0

$\frac{4000}{3} + 7 \cdot 10 - 7 \cdot 0$

解题步骤 6.3.8

将

7

$7$ 乘以

10

$10$ 。

\frac{4000}{3} + 70 - 7 \cdot 0

$\frac{4000}{3} + 70 - 7 \cdot 0$

解题步骤 6.3.9

将

- 7

$- 7$ 乘以

0

$0$ 。

\frac{4000}{3} + 70 + 0

$\frac{4000}{3} + 70 + 0$

解题步骤 6.3.10

将

70

$70$ 和

0

$0$ 相加。

\frac{4000}{3} + 70

$\frac{4000}{3} + 70$

解题步骤 6.3.11

要将

70

$70$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ 。

\frac{4000}{3} + 70 \cdot \frac{3}{3}

$\frac{4000}{3} + 70 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 6.3.12

组合

70

$70$ 和

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ 。

\frac{4000}{3} + \frac{70 \cdot 3}{3}

$\frac{4000}{3} + \frac{70 \cdot 3}{3}$

解题步骤 6.3.13

在公分母上合并分子。

\frac{4000 + 70 \cdot 3}{3}

$\frac{4000 + 70 \cdot 3}{3}$

解题步骤 6.3.14

化简分子。

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解题步骤 6.3.14.1

将

70

$70$ 乘以

3

$3$ 。

\frac{4000 + 210}{3}

$\frac{4000 + 210}{3}$

解题步骤 6.3.14.2

将

4000

$4000$ 和

210

$210$ 相加。

\frac{4210}{3}

$\frac{4210}{3}$

\frac{4210}{3}

$\frac{4210}{3}$

\frac{4210}{3}

$\frac{4210}{3}$

\frac{4210}{3}

$\frac{4210}{3}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

\frac{4210}{3}

$\frac{4210}{3}$

小数形式：

1403.\overline{3}

$1403.\overline{3}$

带分数形式：

1403 \frac{1}{3}

$1403 \frac{1}{3}$

解题步骤 8

微积分学 示例

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