微积分学示例

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Step 1

计算分子和分母的极限值。

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取分子和分母极限值。

\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

计算分子的极限值。

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把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

将

0

$0$ 代入

x

$x$ 来计算

x

$x$ 的极限值。

\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

\sin (0)

$\sin (0)$ 的准确值为

0

$0$ 。

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

将

0

$0$ 代入

x

$x$ 来计算

x

$x$ 的极限值。

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

该表达式包含分母

0

$0$ 。该表达式无定义。

无定义

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Step 2

因为

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Step 3

求分子和分母的导数。

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对分子和分母进行求导。

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

\sin (x)

$\sin (x)$ 对

x

$x$ 的导数为

\cos (x)

$\cos (x)$ 。

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

Step 4

计算极限值。

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用

\cos (x)

$\cos (x)$ 除以

1

$1$ 。

lim_{x \to 0} \cos (x)

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

\cos (lim_{x \to 0} x)

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

\cos (lim_{x \to 0} x)

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

Step 5

将

0

$0$ 代入

x

$x$ 来计算

x

$x$ 的极限值。

\cos (0)

$\cos (0)$

Step 6

\cos (0)

$\cos (0)$ 的准确值为

1

$1$ 。

1

$1$

微积分学 示例

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