微积分学示例

$\int \sin (2 x) d x$

Step 1

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Step 2

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Step 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Step 4

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Step 5

化简。

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化简。

$\frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (u)$ 。

$- \frac{\cos (u)}{2} + C$

Step 6

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

Step 7

重新排序项。

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

微积分学 示例