微积分学示例

$\int \sin^{2} (x) d x$

Step 1

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (x)$ 的形式。

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Step 2

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Step 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Step 4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Step 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Step 6

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Step 7

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Step 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Step 9

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Step 10

化简。

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Step 11

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Step 12

化简。

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组合 $\sin (2 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

运用分配律。

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ 。

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将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sin (2 x)}{2}$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Step 13

重新排序项。

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

微积分学 示例

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