微积分学示例

f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则，

x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}

$x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ 。

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 3

$n = 3$ 。

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$

解题步骤 1.2

计算

\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为

- \frac{3}{2}

$- \frac{3}{2}$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

- \frac{3}{2} x^{2}

$- \frac{3}{2} x^{2}$ 对

x

$x$ 的导数是

- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 2

$n = 2$ 。

3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x)

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x)$

解题步骤 1.2.3

将

2

$2$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x$

解题步骤 1.2.4

组合

- 2

$- 2$ 和

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ 。

3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x$

解题步骤 1.2.5

将

- 2

$- 2$ 乘以

3

$3$ 。

3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x$

解题步骤 1.2.6

组合

\frac{- 6}{2}

$\frac{- 6}{2}$ 和

x

$x$ 。

3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2}

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2}$

解题步骤 1.2.7

约去

- 6

$- 6$ 和

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.1

从

- 6 x

$- 6 x$ 中分解出因数

2

$2$ 。

3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2}

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2}$

解题步骤 1.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.7.2.1

从

2

$2$ 中分解出因数

2

$2$ 。

3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)}

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)}$

解题步骤 1.2.7.2.2

约去公因数。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3

重写表达式。

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1}$

解题步骤 1.2.7.2.4

用

$- 3 x$ 除以

$1$ 。

$3 x^{2} - 3 x$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则，

$3 x^{2} - 3 x$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

解题步骤 2.2

计算

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为

$3$ 对于

$x$ 是常数，所以

$3 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

解题步骤 2.2.3

将

$2$ 乘以

$3$ 。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

解题步骤 2.3

计算

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为

$- 3$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 3 x$ 对

$x$ 的导数是

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 6 x - 3 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 3 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将

$- 3$ 乘以

$1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 3$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于

$0$ 并求解。

$3 x^{2} - 3 x = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则，

$x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$

解题步骤 4.1.2

计算

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为

$- \frac{3}{2}$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- \frac{3}{2} x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x)$

解题步骤 4.1.2.3

将

$2$ 乘以

$- 1$ 。

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x$

解题步骤 4.1.2.4

组合

$- 2$ 和

$\frac{3}{2}$ 。

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x$

解题步骤 4.1.2.5

将

$- 2$ 乘以

$3$ 。

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x$

解题步骤 4.1.2.6

组合

$\frac{- 6}{2}$ 和

$x$ 。

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2}$

解题步骤 4.1.2.7

约去

$- 6$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.7.1

从

$- 6 x$ 中分解出因数

$2$ 。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2}$

解题步骤 4.1.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.7.2.1

从

$2$ 中分解出因数

$2$ 。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)}$

解题步骤 4.1.2.7.2.2

约去公因数。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2.7.2.3

重写表达式。

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1}$

解题步骤 4.1.2.7.2.4

用

$- 3 x$ 除以

$1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 x$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对

$x$ 的一阶导数是

$3 x^{2} - 3 x$ 。

$3 x^{2} - 3 x$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于

$0$ ，然后求解方程

$3 x^{2} - 3 x = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于

$0$ 。

$3 x^{2} - 3 x = 0$

解题步骤 5.2

从

$3 x^{2} - 3 x$ 中分解出因数

$3 x$ 。

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解题步骤 5.2.1

从

$3 x^{2}$ 中分解出因数

$3 x$ 。

$3 x (x) - 3 x = 0$

解题步骤 5.2.2

从

$- 3 x$ 中分解出因数

$3 x$ 。

$3 x (x) + 3 x (- 1) = 0$

解题步骤 5.2.3

从

$3 x (x) + 3 x (- 1)$ 中分解出因数

$3 x$ 。

$3 x (x - 1) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$x = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.4

将

$x$ 设为等于

$0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将

$x - 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将

$x - 1$ 设为等于

$0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.5.2

在等式两边都加上

$1$ 。

$x = 1$

解题步骤 5.6

最终解为使

$3 x (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 1$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, 1$

解题步骤 8

计算在

$x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (0) - 3$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

将

$6$ 乘以

$0$ 。

$0 - 3$

解题步骤 9.2

从

$0$ 中减去

$3$ 。

$- 3$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以

$x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求

$x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的

$0$ 替换变量

$x$ 。

$f (0) = {(0)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{2}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$f (0) = 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{2}$

解题步骤 11.2.1.2

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$f (0) = 0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

解题步骤 11.2.1.3

乘以

$- \frac{3}{2} \cdot 0$ 。

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解题步骤 11.2.1.3.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$f (0) = 0 + 0 (\frac{3}{2})$

解题步骤 11.2.1.3.2

将

$0$ 乘以

$\frac{3}{2}$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 11.2.2

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 11.2.3

最终答案为

$0$ 。

$y = 0$

解题步骤 12

计算在

$x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (1) - 3$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

将

$6$ 乘以

$1$ 。

$6 - 3$

解题步骤 13.2

从

$6$ 中减去

$3$ 。

$3$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以

$x = 1$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极小值

解题步骤 15

求

$x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的

$1$ 替换变量

$x$ 。

$f (1) = {(1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2}$

解题步骤 15.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 - \frac{3}{2} \cdot 1$

解题步骤 15.2.1.3

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$f (1) = 1 - \frac{3}{2}$

解题步骤 15.2.2

化简表达式。

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解题步骤 15.2.2.1

将

$1$ 写成具有公分母的分数。

$f (1) = \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

解题步骤 15.2.2.2

在公分母上合并分子。

$f (1) = \frac{2 - 3}{2}$

解题步骤 15.2.2.3

从

$2$ 中减去

$3$ 。

$f (1) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 15.2.2.4

将负号移到分数的前面。

$f (1) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 15.2.3

最终答案为

$- \frac{1}{2}$ 。

$y = - \frac{1}{2}$

解题步骤 16

这些是

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ 的局部极值。

$(0, 0)$ 是一个局部最大值

$(1, - \frac{1}{2})$ 是一个局部最小值

解题步骤 17

微积分学 示例

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