微积分学示例

$y = x + \sin (x)$ , $0 \leq x \leq 2 π$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $x + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f' (x) = 1 + \cos (x)$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $1 + \cos (x)$ 。

$1 + \cos (x)$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $1 + \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$1 + \cos (x) = 0$

解题步骤 1.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\cos (x) = - 1$

解题步骤 1.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- 1)$

解题步骤 1.2.4

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 1.2.5

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - π$

解题步骤 1.2.6

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 1.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 1.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x + \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = π$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $π$ 替换 $x$ 。

$(π) + \sin (π)$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$π + \sin (0)$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$π + 0$

解题步骤 1.4.1.2.2

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$π$

解题步骤 1.4.2

在 $x = 3 π$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $3 π$ 替换 $x$ 。

$(3 π) + \sin (3 π)$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$3 π + \sin (π)$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$3 π + \sin (0)$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$3 π + 0$

解题步骤 1.4.2.2.2

将 $3 π$ 和 $0$ 相加。

$3 π$

解题步骤 1.4.3

在 $x = 5 π$ 处计算

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解题步骤 1.4.3.1

代入 $5 π$ 替换 $x$ 。

$(5 π) + \sin (5 π)$

解题步骤 1.4.3.2

化简。

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解题步骤 1.4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.3.2.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$5 π + \sin (π)$

解题步骤 1.4.3.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$5 π + \sin (0)$

解题步骤 1.4.3.2.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$5 π + 0$

解题步骤 1.4.3.2.2

将 $5 π$ 和 $0$ 相加。

$5 π$

解题步骤 1.4.4

在 $x = 7 π$ 处计算

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解题步骤 1.4.4.1

代入 $7 π$ 替换 $x$ 。

$(7 π) + \sin (7 π)$

解题步骤 1.4.4.2

化简。

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解题步骤 1.4.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.4.2.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$7 π + \sin (π)$

解题步骤 1.4.4.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$7 π + \sin (0)$

解题步骤 1.4.4.2.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$7 π + 0$

解题步骤 1.4.4.2.2

将 $7 π$ 和 $0$ 相加。

$7 π$

解题步骤 1.4.5

在 $x = 9 π$ 处计算

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解题步骤 1.4.5.1

代入 $9 π$ 替换 $x$ 。

$(9 π) + \sin (9 π)$

解题步骤 1.4.5.2

化简。

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解题步骤 1.4.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.5.2.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$9 π + \sin (π)$

解题步骤 1.4.5.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$9 π + \sin (0)$

解题步骤 1.4.5.2.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$9 π + 0$

解题步骤 1.4.5.2.2

将 $9 π$ 和 $0$ 相加。

$9 π$

解题步骤 1.4.6

列出所有的点。

$(π, π), (3 π, 3 π), (5 π, 5 π), (7 π, 7 π), (9 π, 9 π)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(π, π)$

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$(0) + \sin (0)$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 3.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 3.2

在 $x = 2 π$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $2 π$ 替换 $x$ 。

$(2 π) + \sin (2 π)$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$2 π + \sin (0)$

解题步骤 3.2.2.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 π + 0$

解题步骤 3.2.2.2

将 $2 π$ 和 $0$ 相加。

$2 π$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(0, 0), (2 π, 2 π)$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(2 π, 2 π)$

最小绝对值： $(0, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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