微积分学示例

$g (t) = \frac{t}{t - 8}$ on $10$ , $12$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = t - 8$ 。

$\frac{(t - 8) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(t - 8) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.2

将 $t - 8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t - 8 - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.3

根据加法法则， $t - 8$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ 。

$\frac{t - 8 - t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{t - 8 - t (1 + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.5

因为 $- 8$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{t - 8 - t (1 + 0)}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.1.1.2.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{t - 8 - t \cdot 1}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t - 8 - t}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6.3

从 $t$ 中减去 $t$ 。

$\frac{0 - 8}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.2.6.4.1

从 $0$ 中减去 $8$ 。

$\frac{- 8}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6.4.2

将负号移到分数的前面。

$f' (t) = - \frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

$g (t)$ 对 $t$ 的一阶导数是 $- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$ 。

$- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$8 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $8 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(t - 8)}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2

求解 $t$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $t - 8$ 设为等于 $0$ 。

$t - 8 = 0$

解题步骤 1.3.2.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$t = 8$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $t$ 值，计算 $\frac{t}{t - 8}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $t = 8$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $8$ 替换 $t$ 。

$\frac{8}{(8) - 8}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$\frac{8}{0}$

解题步骤 1.4.1.2.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 1.5

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $t$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $t = 10$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $10$ 替换 $t$ 。

$\frac{10}{(10) - 8}$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

约去 $10$ 和 $(10) - 8$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5)}{(10) - 8}$

解题步骤 2.1.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 5 - 8}$

解题步骤 2.1.2.1.2.2

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5)}{2 \cdot 5 + 2 \cdot - 4}$

解题步骤 2.1.2.1.2.3

从 $2 \cdot 5 + 2 \cdot - 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5)}{2 \cdot (5 - 4)}$

解题步骤 2.1.2.1.2.4

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot (5 - 4)}$

解题步骤 2.1.2.1.2.5

重写表达式。

$\frac{5}{5 - 4}$

解题步骤 2.1.2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.2.1

从 $5$ 中减去 $4$ 。

$\frac{5}{1}$

解题步骤 2.1.2.2.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$5$

解题步骤 2.2

在 $t = 12$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $12$ 替换 $t$ 。

$\frac{12}{(12) - 8}$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $12$ 和 $(12) - 8$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (3)}{(12) - 8}$

解题步骤 2.2.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 3 - 8}$

解题步骤 2.2.2.1.2.2

从 $- 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (3)}{4 \cdot 3 + 4 \cdot - 2}$

解题步骤 2.2.2.1.2.3

从 $4 \cdot 3 + 4 \cdot - 2$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (3)}{4 \cdot (3 - 2)}$

解题步骤 2.2.2.1.2.4

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot (3 - 2)}$

解题步骤 2.2.2.1.2.5

重写表达式。

$\frac{3}{3 - 2}$

解题步骤 2.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.2.2.1

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3}{1}$

解题步骤 2.2.2.2.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(10, 5), (12, 3)$

解题步骤 3

将每个 $t$ 的值对应所得的 $g (t)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $g (t)$ 时产生，而最小值在取最低值 $g (t)$ 时产生。

最大绝对值： $(10, 5)$

最小绝对值： $(12, 3)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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