微积分学示例

$f (x) = \frac{2}{x^{4} - 16}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x^{4} - 16}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

解题步骤 1.1.2

将 $\frac{1}{x^{4} - 16}$ 重写为 ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ 。

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{4} - 16$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4} - 16$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

解题步骤 1.2.3

使用 $x^{4} - 16$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{4} - 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

解题步骤 1.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

解题步骤 1.3.5.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

解题步骤 1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

解题步骤 1.5

合并项。

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解题步骤 1.5.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ 。

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

解题步骤 1.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

解题步骤 1.5.3

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ 。

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.5.4

将 $8$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = {(x^{4} - 16)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 ${({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 移到 ${(x^{4} - 16)}^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 \cdot ({(x^{4} - 16)}^{2} x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{4} - 16$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4} - 16$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 u \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.4.3

使用 $x^{4} - 16$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 (x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.5.2

根据加法法则， $x^{4} - 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3} + 0))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.5.5

化简表达式。

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解题步骤 2.5.5.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.5.5.2

将 $4$ 移到 $x^{4} - 16$ 的左侧。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} (4 \cdot ((x^{4} - 16) x^{3}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.5.5.3

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{3} ((x^{4} - 16) x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{3 + 3} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.7

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.8

组合 $- 8$ 和 $\frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.9

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10

化简。

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解题步骤 2.10.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} x^{4} - 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.2

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3

化简分子。

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解题步骤 2.10.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.3.1.1

将 ${(x^{4} - 16)}^{2}$ 重写为 $(x^{4} - 16) (x^{4} - 16)$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 ((x^{4} - 16) (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x^{4} - 16) (x^{4} - 16)$ 。

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解题步骤 2.10.3.1.2.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} (x^{4} - 16) - 16 (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.2.2

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.2.3

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.10.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.3.1.3.1.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.10.3.1.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4 + 4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.3.1.1.2

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.3.1.2

将 $- 16$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 16 \cdot x^{4} - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.3.1.3

将 $- 16$ 乘以 $- 16$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 16 x^{4} - 16 x^{4} + 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.3.2

从 $- 16 x^{4}$ 中减去 $16 x^{4}$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 32 x^{4} + 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.4

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} + 3 (- 32 x^{4}) + 3 \cdot 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.5

化简。

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解题步骤 2.10.3.1.5.1

将 $- 32$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} - 96 x^{4} + 3 \cdot 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.5.2

将 $3$ 乘以 $256$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} - 96 x^{4} + 768) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.6

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{8} x^{2} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.7

化简。

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解题步骤 2.10.3.1.7.1

通过指数相加将 $x^{8}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.10.3.1.7.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{2} x^{8}) - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{2 + 8} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.7.1.3

将 $2$ 和 $8$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.7.2

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.10.3.1.7.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 (x^{2} x^{4}) + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{2 + 4} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.7.2.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{6} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.8

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10}) + 8 (- 96 x^{6}) + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.9

化简。

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解题步骤 2.10.3.1.9.1

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} + 8 (- 96 x^{6}) + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.9.2

将 $- 96$ 乘以 $8$ 。

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.9.3

将 $768$ 乘以 $8$ 。

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.10

通过指数相加将 $x^{6}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.10.3.1.10.1

移动 $x^{4}$ 。

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 (x^{4} x^{6})) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.10.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{4 + 6}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.10.3

将 $4$ 和 $6$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{10}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.11

将 $- 8$ 乘以 $8$ 。

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.12

将 $- 16$ 乘以 $- 8$ 。

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 8 (128 x^{6})}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.13

将 $128$ 乘以 $8$ 。

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 1024 x^{6}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.2

从 $24 x^{10}$ 中减去 $64 x^{10}$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 40 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 1024 x^{6}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.3.3

将 $- 768 x^{6}$ 和 $1024 x^{6}$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{- 40 x^{10} + 256 x^{6} + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.4

化简分子。

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解题步骤 2.10.4.1

从 $- 40 x^{10} + 256 x^{6} + 6144 x^{2}$ 中分解出因数 $8 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.10.4.1.1

从 $- 40 x^{10}$ 中分解出因数 $8 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 256 x^{6} + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.4.1.2

从 $256 x^{6}$ 中分解出因数 $8 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4}) + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.4.1.3

从 $6144 x^{2}$ 中分解出因数 $8 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.4.1.4

从 $8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4})$ 中分解出因数 $8 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.4.1.5

从 $8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)$ 中分解出因数 $8 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4} + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.4.2

将 $x^{8}$ 重写为 ${(x^{4})}^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 {(x^{4})}^{2} + 32 x^{4} + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.4.3

使 $u = x^{4}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{4}$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + 32 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.4.4

分组因式分解。

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解题步骤 2.10.4.4.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 5 \cdot 768 = - 3840$ 并且它们的和为 $b = 32$ 。

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解题步骤 2.10.4.4.1.1

从 $32 u$ 中分解出因数 $32$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + 32 (u) + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.4.4.1.2

把 $32$ 重写为 $- 48$ 加 $80$

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + (- 48 + 80) u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.4.4.1.3

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} - 48 u + 80 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.4.4.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.10.4.4.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 u^{2} - 48 u) + 80 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.4.4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (u (- 5 u - 48) - 16 (- 5 u - 48))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.4.4.3

通过因式分解出最大公因数 $- 5 u - 48$ 来因式分解多项式。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 u - 48) (u - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.4.5

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.4.6

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ({(x^{2})}^{2} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.4.7

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ({(x^{2})}^{2} - 4^{2}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.4.8

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 4$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.4.9

因数。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.5

化简分母。

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解题步骤 2.10.5.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{({(x^{2})}^{2} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.10.5.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{4}}$

解题步骤 2.10.5.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 4$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{4}}$

解题步骤 2.10.5.4

化简。

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解题步骤 2.10.5.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{4}}$

解题步骤 2.10.5.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{4}}$

解题步骤 2.10.5.5

对 $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ 运用乘积法则。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 2.10.5.6

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 4) (x + 2)$ 。

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解题步骤 2.10.5.6.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 2.10.5.6.2

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 2.10.5.6.3

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 2.10.5.7

化简每一项。

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解题步骤 2.10.5.7.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.10.5.7.1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.10.5.7.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 2.10.5.7.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 2.10.5.7.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 2.10.5.7.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 2.10.5.7.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 2.10.5.8

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.10.5.8.1

将首两项和最后两项分成两组。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{3} + 2 x^{2}) + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 2.10.5.8.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 2.10.5.9

通过因式分解出最大公因数 $x + 2$ 来因式分解多项式。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x + 2) (x^{2} + 4))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 2.10.5.10

对 $(x + 2) (x^{2} + 4)$ 运用乘积法则。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 2.10.6

约去 $x^{2} + 4$ 和 ${(x^{2} + 4)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.6.1

从 $8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $x^{2} + 4$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 2.10.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.10.6.2.1

从 ${(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} + 4$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{(x^{2} + 4) ({(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

解题步骤 2.10.6.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{(x^{2} + 4) ({(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

解题步骤 2.10.6.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2)}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 2.10.7

约去 $x + 2$ 和 ${(x + 2)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.7.1

从 $(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2)$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 2.10.7.2

约去公因数。

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解题步骤 2.10.7.2.1

从 ${(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

解题步骤 2.10.7.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

解题步骤 2.10.7.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 2.10.8

约去 $x - 2$ 和 ${(x - 2)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.8.1

从 $(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2)$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 2.10.8.2

约去公因数。

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解题步骤 2.10.8.2.1

从 ${(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

解题步骤 2.10.8.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

解题步骤 2.10.8.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 2.10.9

从 $- 5 x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4}) - 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 2.10.10

将 $- 48$ 重写为 $- 1 (48)$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4}) - 1 \cdot 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 2.10.11

从 $- (5 x^{4}) - 1 (48)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4} + 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 2.10.12

将 $- (5 x^{4} + 48)$ 重写为 $- 1 (5 x^{4} + 48)$ 。

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 1 (5 x^{4} + 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 2.10.13

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 2.10.14

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 (\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}})$

解题步骤 2.10.15

将 $\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 2.10.16

将 $\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x^{4} - 16}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

解题步骤 4.1.1.2

将 $\frac{1}{x^{4} - 16}$ 重写为 ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ 。

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{4} - 16$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4} - 16$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $x^{4} - 16$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

解题步骤 4.1.3

求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

解题步骤 4.1.3.2

根据加法法则， $x^{4} - 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

解题步骤 4.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

解题步骤 4.1.3.4

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

解题步骤 4.1.3.5

化简表达式。

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解题步骤 4.1.3.5.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

解题步骤 4.1.3.5.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

解题步骤 4.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

解题步骤 4.1.5

合并项。

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解题步骤 4.1.5.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ 。

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

解题步骤 4.1.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

解题步骤 4.1.5.3

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ 。

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.5.4

将 $8$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$f' (x) = - \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ 。

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$8 x^{3} = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

将 $8 x^{3} = 0$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $8 x^{3} = 0$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

解题步骤 5.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.1.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

解题步骤 5.3.1.2.1.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} = \frac{0}{8}$

解题步骤 5.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $8$ 。

$x^{3} = 0$

解题步骤 5.3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 5.3.3

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 5.3.3.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.1.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 4$ 。

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.1.4

化简。

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解题步骤 6.2.1.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.1.4.2

因数。

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解题步骤 6.2.1.4.2.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.1.4.2.2

去掉多余的括号。

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.1.5

对 $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ 运用乘积法则。

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.1.6

对 $(x^{2} + 4) (x + 2)$ 运用乘积法则。

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.3

将 ${(x^{2} + 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

将 ${(x^{2} + 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 6.2.3.2.1

将 $x^{2} + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 4 = 0$

解题步骤 6.2.3.2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.3.2.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x^{2} = - 4$

解题步骤 6.2.3.2.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 4}$

解题步骤 6.2.3.2.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 4}$ 。

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解题步骤 6.2.3.2.2.3.1

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

解题步骤 6.2.3.2.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 6.2.3.2.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 6.2.3.2.2.3.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 6.2.3.2.2.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 2$

解题步骤 6.2.3.2.2.3.6

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 2 i$

解题步骤 6.2.3.2.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.2.3.2.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2 i$

解题步骤 6.2.3.2.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2 i$

解题步骤 6.2.3.2.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2 i, - 2 i$

解题步骤 6.2.4

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.4.1

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.4.2

求解 $x$ 的 ${(x + 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 6.2.4.2.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 6.2.4.2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 6.2.5

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.5.1

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.5.2

求解 $x$ 的 ${(x - 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 6.2.5.2.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 6.2.5.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 6.2.6

最终解为使 ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

解题步骤 6.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 2, x = 2$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{8 {(0)}^{2} (5 {(0)}^{4} + 48)}{{((0) + 2)}^{3} {({(0)}^{2} + 4)}^{3} {((0) - 2)}^{3}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{8 \cdot 0^{2} (5 \cdot 0 + 48)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.1.2

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{8 \cdot 0^{2} (0 + 48)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.1.3

将 $0$ 和 $48$ 相加。

$\frac{8 \cdot 0^{2} \cdot 48}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.1.4

将 $48$ 乘以 $8$ 。

$\frac{384 \cdot 0^{2}}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{384 \cdot 0}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 重写为 $- 1 (0)$ 。

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 (0) + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.2.3

从 $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.2.4

对 $- 1 \cdot (0 - 2)$ 运用乘积法则。

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.2.5

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.2.6

通过指数相加将 ${(0 - 2)}^{3}$ 乘以 ${(0 - 2)}^{3}$ 。

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解题步骤 9.2.6.1

移动 ${(0 - 2)}^{3}$ 。

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}) {(0^{2} + 4)}^{3}}$

解题步骤 9.2.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3 + 3} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

解题步骤 9.2.6.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

解题步骤 9.3

将 $384$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

解题步骤 9.4

化简分母。

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解题步骤 9.4.1

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

解题步骤 9.4.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0 + 4)}^{3}}$

解题步骤 9.4.3

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} \cdot 4^{3}}$

解题步骤 9.4.4

合并指数。

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解题步骤 9.4.4.1

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 1 (2))}^{6} \cdot 4^{3}}$

解题步骤 9.4.4.2

对 $- 1 (2)$ 运用乘积法则。

$\frac{0}{- 1 \cdot ({(- 1)}^{6} \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

解题步骤 9.4.4.3

对 $- 1$ 进行 $6$ 次方运算。

$\frac{0}{- 1 \cdot (1 \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

解题步骤 9.4.4.4

将 $2^{6}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{6} \cdot 4^{3}}$

解题步骤 9.4.4.5

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{0}{- 1 \cdot ({(2^{2})}^{3} \cdot 2^{6})}$

解题步骤 9.4.4.6

将 ${(2^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.4.4.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{0}{- 1 \cdot (2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{6})}$

解题步骤 9.4.4.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{0}{- 1 \cdot (2^{6} \cdot 2^{6})}$

解题步骤 9.4.4.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{6 + 6}}$

解题步骤 9.4.4.8

将 $6$ 和 $6$ 相加。

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{12}}$

解题步骤 9.4.5

对 $2$ 进行 $12$ 次方运算。

$\frac{0}{- 1 \cdot 4096}$

解题步骤 9.5

化简表达式。

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解题步骤 9.5.1

将 $- 1$ 乘以 $4096$ 。

$\frac{0}{- 4096}$

解题步骤 9.5.2

用 $0$ 除以 $- 4096$ 。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 4$ ）代入一阶导数 $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = - \frac{8 {(- 4)}^{3}}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 10.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 10.2.2.2.1

对 $- 4$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{(256 - 16)}^{2}}$

解题步骤 10.2.2.2.2

从 $256$ 中减去 $16$ 。

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{240^{2}}$

解题步骤 10.2.2.2.3

对 $240$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{57600}$

解题步骤 10.2.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 10.2.2.3.1

将 $8$ 乘以 $- 64$ 。

$f' (- 4) = - \frac{- 512}{57600}$

解题步骤 10.2.2.3.2

约去 $- 512$ 和 $57600$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.2.3.2.1

从 $- 512$ 中分解出因数 $256$ 。

$f' (- 4) = - \frac{256 (- 2)}{57600}$

解题步骤 10.2.2.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.2.3.2.2.1

从 $57600$ 中分解出因数 $256$ 。

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

解题步骤 10.2.2.3.2.2.2

约去公因数。

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

解题步骤 10.2.2.3.2.2.3

重写表达式。

$f' (- 4) = - \frac{- 2}{225}$

解题步骤 10.2.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$f' (- 4) = \frac{2}{225}$

解题步骤 10.2.2.4

最终答案为 $\frac{2}{225}$ 。

$\frac{2}{225}$

解题步骤 10.3

将区间 $(0, \infty)$ 内的任一数字（例如 $1$ ）代入一阶导数 $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = - \frac{8 {(1)}^{3}}{{({(1)}^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 10.3.2.2

化简分母。

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解题步骤 10.3.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1 - 16)}^{2}}$

解题步骤 10.3.2.2.2

从 $1$ 中减去 $16$ 。

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(- 15)}^{2}}$

解题步骤 10.3.2.2.3

对 $- 15$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{225}$

解题步骤 10.3.2.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = - \frac{8}{225}$

解题步骤 10.3.2.4

最终答案为 $- \frac{8}{225}$ 。

$- \frac{8}{225}$

解题步骤 10.4

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 0$ 是极大值。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例