微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 25}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} - 25}$ 重写成 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 25$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 25$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.2.3

使用 $x^{2} - 25$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.7

合并分数。

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解题步骤 1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 1.8

根据加法法则， $x^{2} - 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

解题步骤 1.10

因为 $- 25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

解题步骤 1.11

化简项。

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解题步骤 1.11.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

解题步骤 1.11.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} x$

解题步骤 1.11.3

组合 $\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.4

约去公因数。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.5

重写表达式。

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.3

化简。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.4.2

将 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 25$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 25$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.5.3

使用 $x^{2} - 25$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.8

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.9

化简分子。

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解题步骤 2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.10

合并分数。

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解题步骤 2.10.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.10.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.10.4

组合 $\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.11

根据加法法则， $x^{2} - 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.13

因为 $- 25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.14

合并分数。

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解题步骤 2.14.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.14.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.14.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.14.4

组合 $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.19

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.20

约去公因数。

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解题步骤 2.20.1

从 $2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.20.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.20.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.21

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.22

要将 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.23

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.24

通过指数相加将 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.24.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.24.2

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.24.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.24.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} - 25) - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.25

化简 ${(x^{2} - 25)}^{1}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 25 - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.26

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{0 - 25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.27

化简表达式。

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解题步骤 2.27.1

从 $0$ 中减去 $25$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.27.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{- \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.28

将 $\frac{- \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2.29

将 $\frac{1}{x^{2} - 25}$ 乘以 $\frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{25}{(x^{2} - 25) {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.30

通过指数相加将 $x^{2} - 25$ 乘以 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.30.1

将 $x^{2} - 25$ 乘以 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.30.1.1

对 $x^{2} - 25$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{25}{(x^{2} - 25) {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.30.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.30.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.30.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 2.30.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} - 25}$ 重写成 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 25$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 25$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $x^{2} - 25$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 4.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 4.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 4.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 4.1.6

化简分子。

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解题步骤 4.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 4.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 4.1.7

合并分数。

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解题步骤 4.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 4.1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 4.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

解题步骤 4.1.8

根据加法法则， $x^{2} - 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

解题步骤 4.1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

解题步骤 4.1.10

因为 $- 25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

解题步骤 4.1.11

化简项。

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解题步骤 4.1.11.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

解题步骤 4.1.11.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} x$

解题步骤 4.1.11.3

组合 $\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.11.4

约去公因数。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.11.5

重写表达式。

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$x = 0$

解题步骤 5.3

排除不能使 $\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 6.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{x}{\sqrt{{(x^{2} - 25)}^{1}}}$

解题步骤 6.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{x^{2} - 25} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x^{2} - 25}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} - 25}$ 重写成 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

化简 ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

将 ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x^{2} - 25)}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

化简。

$x^{2} - 25 = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x^{2} - 25 = 0$

解题步骤 6.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

在等式两边都加上 $25$ 。

$x^{2} = 25$

解题步骤 6.3.3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{25}$

解题步骤 6.3.3.3

化简 $\pm \sqrt{25}$ 。

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解题步骤 6.3.3.3.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 6.3.3.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 5$

解题步骤 6.3.3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.3.3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 5$

解题步骤 6.3.3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 5$

解题步骤 6.3.3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 5, - 5$

解题步骤 6.4

将 $\sqrt{x^{2} - 25}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} - 25 < 0$

解题步骤 6.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

在不等式两边同时加上 $25$ 。

$x^{2} < 25$

解题步骤 6.5.2

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{25}$

解题步骤 6.5.3

化简方程。

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解题步骤 6.5.3.1

化简左边。

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解题步骤 6.5.3.1.1

从根式下提出各项。

$| x | < \sqrt{25}$

解题步骤 6.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 6.5.3.2.1

化简 $\sqrt{25}$ 。

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解题步骤 6.5.3.2.1.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$| x | < \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 6.5.3.2.1.2

从根式下提出各项。

$| x | < | 5 |$

解题步骤 6.5.3.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $5$ 之间的距离为 $5$ 。

$| x | < 5$

解题步骤 6.5.4

将 $| x | < 5$ 书写为分段式。

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解题步骤 6.5.4.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 6.5.4.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x < 5$

解题步骤 6.5.4.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 6.5.4.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x < 5$

解题步骤 6.5.4.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x < 5 & x \geq 0 \\ - x < 5 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 6.5.5

求 $x < 5$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x < 5$

解题步骤 6.5.6

当 $x < 0$ 时求解 $- x < 5$ 。

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解题步骤 6.5.6.1

将 $- x < 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.5.6.1.1

将 $- x < 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} > \frac{5}{- 1}$

解题步骤 6.5.6.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.6.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} > \frac{5}{- 1}$

解题步骤 6.5.6.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x > \frac{5}{- 1}$

解题步骤 6.5.6.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.6.1.3.1

用 $5$ 除以 $- 1$ 。

$x > - 5$

解题步骤 6.5.6.2

求 $x > - 5$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- 5 < x < 0$

解题步骤 6.5.7

求解的并集。

$- 5 < x < 5$

解题步骤 6.6

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$- 5 \leq x \leq 5$

$[- 5, 5]$

$- 5 \leq x \leq 5$

$[- 5, 5]$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - 5, 5$

解题步骤 8

计算在 $x = - 5$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{25}{{({(- 5)}^{2} - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简表达式。

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解题步骤 9.1.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{25}{{(25 - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.2

从 $25$ 中减去 $25$ 。

$- \frac{25}{0^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.3

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$- \frac{25}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{25}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 9.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

约去公因数。

$- \frac{25}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 9.2.2

重写表达式。

$- \frac{25}{0^{3}}$

解题步骤 9.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{25}{0}$

解题步骤 9.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 10

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例