微积分学示例

$f (x) = x^{4} - 20 x^{3} + 28 x^{2} - 4$ , $[- 1, 2]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 20 x^{3} + 28 x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} - 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 20$ 。

$4 x^{3} - 60 x^{2} + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [28 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $28$ 对于 $x$ 是常数，所以 $28 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $28 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 28 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 28 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $28$ 。

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.4.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x + 0$

解题步骤 1.1.1.4.2

将 $4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x$ 。

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x = 0$

解题步骤 1.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) - 60 x^{2} + 56 x = 0$

解题步骤 1.2.2.1.2

从 $- 60 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 15 x) + 56 x = 0$

解题步骤 1.2.2.1.3

从 $56 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 15 x) + 4 x (14) = 0$

解题步骤 1.2.2.1.4

从 $4 x (x^{2}) + 4 x (- 15 x)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2} - 15 x) + 4 x (14) = 0$

解题步骤 1.2.2.1.5

从 $4 x (x^{2} - 15 x) + 4 x (14)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2} - 15 x + 14) = 0$

解题步骤 1.2.2.2

因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 15 x + 14$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $14$ ，和为 $- 15$ 。

$- 14, - 1$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$4 x ((x - 14) (x - 1)) = 0$

解题步骤 1.2.2.2.2

去掉多余的括号。

$4 x (x - 14) (x - 1) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 14 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $x - 14$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x - 14$ 设为等于 $0$ 。

$x - 14 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

在等式两边都加上 $14$ 。

$x = 14$

解题步骤 1.2.6

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.6.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.2.7

最终解为使 $4 x (x - 14) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 14, 1$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{4} - 20 x^{3} + 28 x^{2} - 4$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{4} - 20 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} - 4$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 20 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} - 4$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 20 \cdot 0 + 28 {(0)}^{2} - 4$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

将 $- 20$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 28 {(0)}^{2} - 4$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 0 + 28 \cdot 0 - 4$

解题步骤 1.4.1.2.1.5

将 $28$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0 - 4$

解题步骤 1.4.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0 - 4$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 - 4$

解题步骤 1.4.1.2.2.3

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$- 4$

解题步骤 1.4.2

在 $x = 14$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $14$ 替换 $x$ 。

${(14)}^{4} - 20 {(14)}^{3} + 28 {(14)}^{2} - 4$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

对 $14$ 进行 $4$ 次方运算。

$38416 - 20 {(14)}^{3} + 28 {(14)}^{2} - 4$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

对 $14$ 进行 $3$ 次方运算。

$38416 - 20 \cdot 2744 + 28 {(14)}^{2} - 4$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

将 $- 20$ 乘以 $2744$ 。

$38416 - 54880 + 28 {(14)}^{2} - 4$

解题步骤 1.4.2.2.1.4

对 $14$ 进行 $2$ 次方运算。

$38416 - 54880 + 28 \cdot 196 - 4$

解题步骤 1.4.2.2.1.5

将 $28$ 乘以 $196$ 。

$38416 - 54880 + 5488 - 4$

解题步骤 1.4.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.4.2.2.2.1

从 $38416$ 中减去 $54880$ 。

$- 16464 + 5488 - 4$

解题步骤 1.4.2.2.2.2

将 $- 16464$ 和 $5488$ 相加。

$- 10976 - 4$

解题步骤 1.4.2.2.2.3

从 $- 10976$ 中减去 $4$ 。

$- 10980$

解题步骤 1.4.3

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 1.4.3.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

${(1)}^{4} - 20 {(1)}^{3} + 28 {(1)}^{2} - 4$

解题步骤 1.4.3.2

化简。

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解题步骤 1.4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.3.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$1 - 20 {(1)}^{3} + 28 {(1)}^{2} - 4$

解题步骤 1.4.3.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$1 - 20 \cdot 1 + 28 {(1)}^{2} - 4$

解题步骤 1.4.3.2.1.3

将 $- 20$ 乘以 $1$ 。

$1 - 20 + 28 {(1)}^{2} - 4$

解题步骤 1.4.3.2.1.4

一的任意次幂都为一。

$1 - 20 + 28 \cdot 1 - 4$

解题步骤 1.4.3.2.1.5

将 $28$ 乘以 $1$ 。

$1 - 20 + 28 - 4$

解题步骤 1.4.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.4.3.2.2.1

从 $1$ 中减去 $20$ 。

$- 19 + 28 - 4$

解题步骤 1.4.3.2.2.2

将 $- 19$ 和 $28$ 相加。

$9 - 4$

解题步骤 1.4.3.2.2.3

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$5$

解题步骤 1.4.4

列出所有的点。

$(0, - 4), (14, - 10980), (1, 5)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(0, - 4), (1, 5)$

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

${(- 1)}^{4} - 20 {(- 1)}^{3} + 28 {(- 1)}^{2} - 4$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$1 - 20 {(- 1)}^{3} + 28 {(- 1)}^{2} - 4$

解题步骤 3.1.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 - 20 \cdot - 1 + 28 {(- 1)}^{2} - 4$

解题步骤 3.1.2.1.3

将 $- 20$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 20 + 28 {(- 1)}^{2} - 4$

解题步骤 3.1.2.1.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 20 + 28 \cdot 1 - 4$

解题步骤 3.1.2.1.5

将 $28$ 乘以 $1$ 。

$1 + 20 + 28 - 4$

解题步骤 3.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将 $1$ 和 $20$ 相加。

$21 + 28 - 4$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $21$ 和 $28$ 相加。

$49 - 4$

解题步骤 3.1.2.2.3

从 $49$ 中减去 $4$ 。

$45$

解题步骤 3.2

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

${(2)}^{4} - 20 {(2)}^{3} + 28 {(2)}^{2} - 4$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$16 - 20 {(2)}^{3} + 28 {(2)}^{2} - 4$

解题步骤 3.2.2.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$16 - 20 \cdot 8 + 28 {(2)}^{2} - 4$

解题步骤 3.2.2.1.3

将 $- 20$ 乘以 $8$ 。

$16 - 160 + 28 {(2)}^{2} - 4$

解题步骤 3.2.2.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 - 160 + 28 \cdot 4 - 4$

解题步骤 3.2.2.1.5

将 $28$ 乘以 $4$ 。

$16 - 160 + 112 - 4$

解题步骤 3.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.2.2.2.1

从 $16$ 中减去 $160$ 。

$- 144 + 112 - 4$

解题步骤 3.2.2.2.2

将 $- 144$ 和 $112$ 相加。

$- 32 - 4$

解题步骤 3.2.2.2.3

从 $- 32$ 中减去 $4$ 。

$- 36$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(- 1, 45), (2, - 36)$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(- 1, 45)$

最小绝对值： $(2, - 36)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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