微积分学示例

$h (x) = x^{\frac{1}{5}} - 8$ , $[- 32, 1]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{\frac{1}{5}} - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{5}$ 。

$\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 1.1.1.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 1.1.1.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 1.1.1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 1.1.1.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 1.1.1.2.5.2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 1.1.1.2.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 1.1.1.3

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + 0$

解题步骤 1.1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} + 0$

解题步骤 1.1.1.4.2

合并项。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ 。

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 0$

解题步骤 1.1.1.4.2.2

将 $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 1.1.2

$h (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ 。

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{1}{5 \sqrt[5]{x^{4}}}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{5 \sqrt[5]{x^{4}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$5 \sqrt[5]{x^{4}} = 0$

解题步骤 1.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

要去掉方程左边的根号，请将方程两边同时取 $5$ 次幂。

${(5 \sqrt[5]{x^{4}})}^{5} = 0^{5}$

解题步骤 1.3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x^{4}}$ 重写成 $x^{\frac{4}{5}}$ 。

${(5 x^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

解题步骤 1.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1

化简 ${(5 x^{\frac{4}{5}})}^{5}$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1

对 $5 x^{\frac{4}{5}}$ 运用乘积法则。

$5^{5} {(x^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.2

对 $5$ 进行 $5$ 次方运算。

$3125 {(x^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.3

将 ${(x^{\frac{4}{5}})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3125 x^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.3.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$3125 x^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$3125 x^{4} = 0^{5}$

解题步骤 1.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3125 x^{4} = 0$

解题步骤 1.3.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.3.3.1

将 $3125 x^{4} = 0$ 中的每一项除以 $3125$ 并化简。

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解题步骤 1.3.3.3.1.1

将 $3125 x^{4} = 0$ 中的每一项都除以 $3125$ 。

$\frac{3125 x^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

解题步骤 1.3.3.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.3.1.2.1

约去 $3125$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3125 x^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

解题步骤 1.3.3.3.1.2.1.2

用 $x^{4}$ 除以 $1$ 。

$x^{4} = \frac{0}{3125}$

解题步骤 1.3.3.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $3125$ 。

$x^{4} = 0$

解题步骤 1.3.3.3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

解题步骤 1.3.3.3.3

化简 $\pm \sqrt[4]{0}$ 。

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解题步骤 1.3.3.3.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{4}$ 。

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

解题步骤 1.3.3.3.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 1.3.3.3.3.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{\frac{1}{5}} - 8$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{\frac{1}{5}} - 8$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{5}$ 。

${(0^{5})}^{\frac{1}{5}} - 8$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0^{5 (\frac{1}{5})} - 8$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.3.1

约去公因数。

$0^{5 (\frac{1}{5})} - 8$

解题步骤 1.4.1.2.1.3.2

重写表达式。

$0^{1} - 8$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

计算指数。

$0 - 8$

解题步骤 1.4.1.2.2

从 $0$ 中减去 $8$ 。

$- 8$

解题步骤 1.4.2

列出所有的点。

$(0, - 8)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - 32$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 32$ 替换 $x$ 。

${(- 32)}^{\frac{1}{5}} - 8$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

将 $- 32$ 重写为 ${(- 2)}^{5}$ 。

${({(- 2)}^{5})}^{\frac{1}{5}} - 8$

解题步骤 2.1.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(- 2)}^{5 (\frac{1}{5})} - 8$

解题步骤 2.1.2.1.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

约去公因数。

${(- 2)}^{5 (\frac{1}{5})} - 8$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

重写表达式。

${(- 2)}^{1} - 8$

解题步骤 2.1.2.1.4

计算指数。

$- 2 - 8$

解题步骤 2.1.2.2

从 $- 2$ 中减去 $8$ 。

$- 10$

解题步骤 2.2

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

${(1)}^{\frac{1}{5}} - 8$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$1 - 8$

解题步骤 2.2.2.2

从 $1$ 中减去 $8$ 。

$- 7$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 32, - 10), (1, - 7)$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $h (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $h (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $h (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(1, - 7)$

最小绝对值： $(- 32, - 10)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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