微积分学示例

g (x) = \sqrt[3]{x}

$g (x) = \sqrt[3]{x}$ ,

[- 8, 8]

$[- 8, 8]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt[3]{x}

$\sqrt[3]{x}$ 重写成

x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}}$ 。

\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = \frac{1}{3}

$n = \frac{1}{3}$ 。

\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 1.1.1.3

要将

- 1

$- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ 。

\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 1.1.1.4

组合

- 1

$- 1$ 和

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ 。

\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 1.1.1.5

在公分母上合并分子。

\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 1.1.1.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.6.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

3

$3$ 。

\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

解题步骤 1.1.1.6.2

从

1

$1$ 中减去

3

$3$ 。

\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

解题步骤 1.1.1.7

将负号移到分数的前面。

\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

解题步骤 1.1.1.8

化简。

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解题步骤 1.1.1.8.1

使用负指数规则

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.1.8.2

将

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 乘以

\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.2

$g (x)$ 对

$x$ 的一阶导数是

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于

$0$ ，然后求解方程

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于

$0$ 。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为

$1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

应用法则

$x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 1.3.2

将

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ 的分母设为等于

$0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

解题步骤 1.3.3

求解

$x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成

$x^{\frac{2}{3}}$ 。

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1

化简

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1

对

$3 x^{\frac{2}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.2

对

$3$ 进行

$3$ 次方运算。

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.3

将

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.3.2

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$27 x^{2} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.2.3.1

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$27 x^{2} = 0$

解题步骤 1.3.3.3

求解

$x$ 。

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解题步骤 1.3.3.3.1

将

$27 x^{2} = 0$ 中的每一项除以

$27$ 并化简。

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解题步骤 1.3.3.3.1.1

将

$27 x^{2} = 0$ 中的每一项都除以

$27$ 。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 1.3.3.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.3.1.2.1

约去

$27$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 1.3.3.3.1.2.1.2

用

$x^{2}$ 除以

$1$ 。

$x^{2} = \frac{0}{27}$

解题步骤 1.3.3.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.3.1.3.1

用

$0$ 除以

$27$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 1.3.3.3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 1.3.3.3.3

化简

$\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 1.3.3.3.3.1

将

$0$ 重写为

$0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 1.3.3.3.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 1.3.3.3.3.3

正负

$0$ 是

$0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.4

对每个导数为

$0$ 或无意义的

$x$ 值，计算

$\sqrt[3]{x}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在

$x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入

$0$ 替换

$x$ 。

$\sqrt[3]{0}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

去掉圆括号。

$\sqrt[3]{0}$

解题步骤 1.4.1.2.2

将

$0$ 重写为

$0^{3}$ 。

$\sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 1.4.1.2.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$0$

解题步骤 1.4.2

列出所有的点。

$(0, 0)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在

$x = - 8$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入

$- 8$ 替换

$x$ 。

$\sqrt[3]{- 8}$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

去掉圆括号。

$\sqrt[3]{- 8}$

解题步骤 2.1.2.2

将

$- 8$ 重写为

${(- 2)}^{3}$ 。

$\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$- 2$

解题步骤 2.2

在

$x = 8$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入

$8$ 替换

$x$ 。

$\sqrt[3]{8}$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

去掉圆括号。

$\sqrt[3]{8}$

解题步骤 2.2.2.2

将

$8$ 重写为

$2^{3}$ 。

$\sqrt[3]{2^{3}}$

解题步骤 2.2.2.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$2$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 8, - 2), (8, 2)$

解题步骤 3

将每个

$x$ 的值对应所得的

$g (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值

$g (x)$ 时产生，而最小值在取最低值

$g (x)$ 时产生。

最大绝对值：

$(8, 2)$

最小绝对值：

$(- 8, - 2)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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