微积分学示例

$f (x) = 3 \sin (x) \cos (x)$ , $[\frac{π}{4}, π]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \sin (x) \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

解题步骤 1.1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.1.1.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$3 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.1.1.4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.1.1.5

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.1.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.1.1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.1.1.8

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

解题步骤 1.1.1.9

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

解题步骤 1.1.1.10

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

解题步骤 1.1.1.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 1.1.1.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

解题步骤 1.1.1.13

化简。

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解题步骤 1.1.1.13.1

运用分配律。

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$

解题步骤 1.1.1.13.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = - 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ 。

$- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 1.2.2

对 $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

从 $- 3 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 1.2.2.1.2

从 $3 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 1.2.2.1.3

从 $3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 1.2.2.2

将 $- \sin^{2} (x)$ 和 $\cos^{2} (x)$ 重新排序。

$3 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 1.2.2.3

因数。

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解题步骤 1.2.2.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (x)$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 0$

解题步骤 1.2.2.3.2

去掉多余的括号。

$3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $\cos (x) + \sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $\cos (x) + \sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

解题步骤 1.2.4.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) + \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.4.2.2

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.4.2.2.2

重写表达式。

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.4.2.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.4.2.4

分离分数。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.4.2.5

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 1.2.4.2.6

用 $0$ 除以 $1$ 。

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

解题步骤 1.2.4.2.7

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$1 + \tan (x) = 0$

解题步骤 1.2.4.2.8

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\tan (x) = - 1$

解题步骤 1.2.4.2.9

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 1)$

解题步骤 1.2.4.2.10

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.10.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.4.2.11

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{4} - π$

解题步骤 1.2.4.2.12

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 1.2.4.2.12.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{4} - π$ 。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 1.2.4.2.12.2

得出的角 $\frac{3 π}{4}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{4} - π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 1.2.4.2.13

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.4.2.13.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 1.2.4.2.13.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.4.2.13.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 1.2.4.2.13.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 1.2.4.2.14

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 1.2.4.2.14.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + π$

解题步骤 1.2.4.2.14.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.4.2.14.3

合并分数。

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解题步骤 1.2.4.2.14.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.4.2.14.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 1.2.4.2.14.4

化简分子。

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解题步骤 1.2.4.2.14.4.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 1.2.4.2.14.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{4}$

解题步骤 1.2.4.2.14.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 1.2.4.2.15

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.5

将 $\cos (x) - \sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $\cos (x) - \sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 1.2.5.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) - \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.1

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.5.2.2

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.5.2.2.2

重写表达式。

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.5.2.3

分离分数。

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.5.2.4

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.5.2.5

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.5.2.6

分离分数。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.5.2.7

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 1.2.5.2.8

用 $0$ 除以 $1$ 。

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

解题步骤 1.2.5.2.9

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$1 - \tan (x) = 0$

解题步骤 1.2.5.2.10

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \tan (x) = - 1$

解题步骤 1.2.5.2.11

将 $- \tan (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.5.2.11.1

将 $- \tan (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.2.5.2.11.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.5.2.11.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.2.5.2.11.2.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.2.5.2.11.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.2.11.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\tan (x) = 1$

解题步骤 1.2.5.2.12

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (1)$

解题步骤 1.2.5.2.13

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.2.13.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.5.2.14

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.5.2.15

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.15.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.5.2.15.2

合并分数。

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解题步骤 1.2.5.2.15.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.5.2.15.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 1.2.5.2.15.3

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.2.15.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 1.2.5.2.15.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 1.2.5.2.16

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.5.2.16.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 1.2.5.2.16.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.5.2.16.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 1.2.5.2.16.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 1.2.5.2.17

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.7

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $3 \sin (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = \frac{π}{4}$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $\frac{π}{4}$ 替换 $x$ 。

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.1.2.2

组合 $3$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.1.2.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.4.1.2.4

乘以 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.4.1

将 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.1.2.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.1.2.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.1.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.1.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.1.2.4.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.5

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.5.4.1

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.5.4.2

重写表达式。

$\frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.5.5

计算指数。

$\frac{3 \cdot 2}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.6

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.7

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.7.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3)}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.1.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.1.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{2}$

解题步骤 1.4.2

在 $x = \frac{3 π}{4}$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $\frac{3 π}{4}$ 替换 $x$ 。

$3 \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 1.4.2.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 1.4.2.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 1.4.2.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

解题步骤 1.4.2.2.5

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 1.4.2.2.6

乘以 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.6.1

将 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.2.2.6.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.2.2.6.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.2.2.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.2.2.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.2.2.6.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

解题步骤 1.4.2.2.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

解题步骤 1.4.2.2.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 1.4.2.2.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 1.4.2.2.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.7.4.1

约去公因数。

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 1.4.2.2.7.4.2

重写表达式。

$- \frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

解题步骤 1.4.2.2.7.5

计算指数。

$- \frac{3 \cdot 2}{4}$

解题步骤 1.4.2.2.8

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{6}{4}$

解题步骤 1.4.2.2.9

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.9.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (3)}{4}$

解题步骤 1.4.2.2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.9.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.2.2.9.2.2

约去公因数。

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.2.2.9.2.3

重写表达式。

$- \frac{3}{2}$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{3}{2}), (\frac{3 π}{4} + π n, - \frac{3}{2})$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(\frac{π}{4}, \frac{3}{2}), (\frac{3 π}{4}, - \frac{3}{2})$

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = \frac{π}{4}$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $\frac{π}{4}$ 替换 $x$ 。

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 3.1.2.2

组合 $3$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 3.1.2.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.1.2.4

乘以 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.1.2.4.1

将 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.2.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.2.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.2.4.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

解题步骤 3.1.2.5

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.1.2.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

解题步骤 3.1.2.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 3.1.2.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 3.1.2.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.5.4.1

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 3.1.2.5.4.2

重写表达式。

$\frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

解题步骤 3.1.2.5.5

计算指数。

$\frac{3 \cdot 2}{4}$

解题步骤 3.1.2.6

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6}{4}$

解题步骤 3.1.2.7

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.7.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3)}{4}$

解题步骤 3.1.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{2}$

解题步骤 3.2

在 $x = π$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $π$ 替换 $x$ 。

$3 \sin (π) \cos (π)$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$3 \sin (0) \cos (π)$

解题步骤 3.2.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$3 \cdot 0 \cos (π)$

解题步骤 3.2.2.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$0 \cos (π)$

解题步骤 3.2.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$0 (- \cos (0))$

解题步骤 3.2.2.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$0 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 3.2.2.6

乘以 $0 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 3.2.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 \cdot - 1$

解题步骤 3.2.2.6.2

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(\frac{π}{4}, \frac{3}{2}), (π, 0)$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(\frac{π}{4}, \frac{3}{2})$

最小绝对值： $(\frac{3 π}{4}, - \frac{3}{2})$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例